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l'equazione polare della curva. Per 6 = 0° si ha r = a; la costante m è la cotangente 
trigonometrica dell'angolo costante « che la tangente geometrica alla spirale forma col 
rispettivo raggio vettore. 
Si faccia centro nel polo 0, e con raggio X—Vvoasena descrivasi il cerchio, ri- 
spetto al quale traiettoria ed odografo, quest'ultimo girato di un angolo retto intorno al 
punto 0, sono curve polari reciproche. Essendo v la velocità da cui è animato il mobile 
nella posizione M, il vettore OP dell'odografo, che rappresenta la velocità v, riesce per- 
pendicolare alla tangente nel punto M della spirale, e si trova legato al raggio OM dalla 
relazione: 
OM. sena OM ' 
ovvero : 
L'odografo riesce, quindi, una spirale identica alla traiettoria, cosi disposta che 
mentre i raggi vettori di questa aumentano, i raggi di quella diminuiscono. 
L'arco elementare dell'odografo ha per espressione: 
da cui : 
^^a=[/}^^^;' + ^;^(^e»|=^"l/l + w^(^e ; 
dt r dt 
Ma per il principio delle aree: 
<Z0 X' avn 
dt + 
laonde: 
Se m=0 , la spirale riducasi ad una circonferenza : a—T,\)^-=.v e \d——. 
Per ciò, nella spirale equiangola l'accelerazione se converge nel polo della curva^ è 
inversamente proporzionale al cubo del raggio vettore. 
l 13. 
La lemniscata ha per equazione in coordinate cartesiane ortogonaU: 
ed in coordinate polari: 
r' = a'.cos2e . 
Essa è la trasformata per raggi vettori reciproci dell'iperbole equilatera: 
00326 ' 
