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il polo di reciprocità è il centro 0 dell'iperbole che è contemporaneamente il punto 
doppio della lemniscata. 
Siccome l'asse trasverso dell'iperbole equilatera biseca l'angolo compreso fra il 
raggio vettore OM'=r' (tig. 3) e la perpendicolare OQ'=z' abbassata dal centro 0 sulla 
tangente nel punto M', il triangolo OM'Q' somministra: 
z' = r'.cos2^ , 
laonde: 
2 
iz' =a*.cos26 . 
Ne consegue z'=.r, ovvero: la lemniscata si presenta anche come la podaria ri- 
spetto al polo 0 della stessa iperbole equilatera. 
Questo premesso, concepiamo la lemniscata come traiettoria di un punto mobile 
M sollecitato da un'accelerazione w diretta verso il polo 0. Per una nota proprietà delle 
curve reciproche, sono eguali (e di senso opposto) gli angoli che le tangenti ne' punti 
reciproci M ,M' della lemniscata e dell'iperbole equilatera formano col raggio vettore; 
ne deriva: 
OM 
e il corrispondente vettore dell'odografo risulta (§ 7°): 
_ o^» 
D'altra parte, la tangente alla lemniscata comprende coli' asse trasverso l'angolo 
Abbiamo cosi tutti gli elementi per stabilire l'espressione dell'arco elementare del- 
l'odografo: 
Avvertendo poi all'equazione della curva e al principio delle aree, si discende assai 
facilmente alla relazione finale: 
w=ó — 7^ . 
Si conclude: nella lemniscata l'accelerazione se converge al punto doppio della cur- 
va, è inversamente proporzionale alla settima potenza del raggio vettore. 
l H. 
Per stabilire la genesi cinematica di altre curve di ordine superiore, quali sono le 
cicliche, le cubiche circolari (cissoide, logociclica, ), le quartiche (concoide di cer- 
chio, podarie delle coniche a centro, ), etc, anziché far uso dell'odografo, vai meglio 
prendere a base d'investigazione la trasformazione quadratica nel piano. Ma per pro- 
