Le coordinale di ogni punto della figura trasformala riescono, dunque, espresse in 
funzione delle coordinale del punto conjugalo nella figura primitiva, e queste coordi- 
nale in funzione di quelle, per mezzo di equazioni, le quali mostrano che la corrispon- 
denza tra le figure F , F* definita dalla formola Euleriana, rientra nella classe gene- 
rale delle trasformazioni quadratiche birazionali *). 
Se il punto M{x , y) nel generare la figura F, percorre una retta s data dall'equa- 
zione: 
y = ax + b ; 
il conjugalo descrive la conica: 
aA;Ìti + &(è' + Yi*j + Z;Yi(6-'n) = 0 ; 
la quale é tangente alle due polodie nel centro istantaneo 0. 
Similmente, se cerchiamo il luogo del punto M perchè il punto M\ nel generare 
la figura F*, percorra una retta s*, si trova che M deve muoversi in una conica che 
tocca le polodie nel polo 0. 
§ 15. 
La retta all'oo del piano, considerala come appartenente alla figura F*, ha per co- 
nica corrispondente un cerchio Q (cerchio dei flessij che è luogo dei punti i quali, per 
un molo elementare della figura F, descrivono trajeltorie di curvatura nulla (flessij se- 
condo rette concorrenti in un unico punto / Cpolo dei flessij. Il cerchio S, di diametro 
Ar, è contenuto nella regione positiva dal piano; il polo di rotazione 0 è il polo dei 
flessi 7 ne sono punti diametralmente opposti nella normale comune alle polodie. 
Alla retta all'oo del piano, considerala nella figura F, corrisponde nella trasformata 
F*, un secondo cerchio Q*, esso pure di diametro k, ma contenuto nella regione ne- 
gativa del piano. 
Per interpretare la proprietà di cui gode il cerchio (2*, conduciamo pel polo 0 la 
perpendicolare r alla retta s, e sia S* l'intersezione di r con (2*. Il punto S* è centro 
di curvatura tanto della traiettoria descritta dal punto all'ac della retla r, come delle 
linee, tra loro equidistanti, che vengono inviluppate da tutte le rette parallele alla s. 
Fra queste ve n'è una, la retta s, , la quale passa per S* e pel punto /* del cerchio (2*, 
diametralmente opposto al centro istantaneo 0. 
S* riesce simultaneamente punto di contatto di col suo inviluppo (sj e centro 
di curvatura di questo inviluppo (sj. In altre parole: la curva (sj presenta una cuspide 
*) La trasformazione di Eulero considerata nel testo, è un caso particolare della ^?-as/"orma- 
ztone conica ideata da Steiner (nel suo Sviluppo della mutua dipendenza delle forme, Ber- 
lino, 1832), e dipoi generalizzata da Cremona (Mem. dell'Acc. di Bologna, 1863). Colla trasfor- 
mazione di Steiner al sistema di rette del piano corrisponde il sistema di coniche circoscritte ad 
un triangolo (reale o no). 
Da essa si discende assai facilmente al principio delle imagini di Thomson (giornale di 
Liouville, 1847), per cui si passa da una figura ad un'altra per inversione, ossia per raggi vet- 
tori reciproci. 
Così pure, dalla trasformazione di Steiner deriva la trasformazione iperbolica studiata da 
Schiaparelli (Mem. dell'Acc. di Torino, 1862), la quale ha con quella di Thomson la stessa 
analogi'a che l'iperbole equilatera col cerchio, e gli esponenziali colle linee trigonometriche. 
