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in S*. Donde segue: le rette che concorrono nel punto 1* (polo delle cuspidi), per un 
moto elementare della figura F, inviluppano archi di curvatura infiniti (cuspidi) nei 
punti del cerchio (2* (cerchio delle cuspidi). Tutte le altre rette della figura F inviluppa- 
no, invece, archi di curvatura finita di cui i centri sono pure nel cerchio <B*. 
§16. 
Facilmente si riconosce che: 
r a più rette qualsivogliano della figura F (o della trasformata F*) corrispon- 
dono coniche osculatrici nel polo 0 al cerchio delle cuspidi (o al cerchio dei flessi) *); 
2° a più rette parallele di F (o di F*) corrispondono coniche passanti per uno 
stesso punto del cerchio delle cuspidi (o del cerchio dei flessi); 
3° ciascuna conica è un'ellisse, un'iperbole o una parabola secondo che la retta 
coniugata è esterna, sega o tocca il cerchio dei flessi (o rispettivamente il cerchio delle 
cuspidi); 
4" i punti situati nella tangente comune alle due polodie percorrono traiettorie 
aventi un unico centro di curvatura, il polo 0; quest'ultimo punto corrisponde a sè 
stesso (e a tutti 1 punti di quella tangente) , ed ogni retta passante per esso corrisponde 
del pari a sè medesima; 
5" se invertiamo le due figure, cioè se rendiamo ferma la figura F e mobile la 
trasformata F*, allora deferente ed epiciclo s' invertono tra loro; il cerchio dei flessi si 
cambia nel cerchio delle cuspidi, e, viceversa, il cerchio delle cuspidi in quello dei 
flessi. 
§17. • 
Dati il polo 0 e i centri di curvatura C,C* delle polodie che definiscono il moto, 
trovasi ad ogni punto M il suo conjugato il/*, mediante una costruzione grafica sempli- 
cissima. 
Si unisce ili (fig. 4) con C e con 0; sulla retta OM s'inalza la perpendicolare OH, 
che interseca l'altra retta CM nel punto H; la congiuugente C*H sega OM, o il suo 
prolungamento, nel punto richiesto M*. 
La verità della costruzione si rende subito manifesta, osservando il triangolo COM 
tagliato dalla trasversale C*H; per il teorema di Menelao abbiamo: 
CE X M3£* X 0C* = MHX OM* X CC* . 
Ma se denotiamo con e l'angolo che il vettore OM forma colla tangente alle due 
polodie, e con <p l'angolo in M del triangolo, risultano : 
C^=i2— , MM* = r-,* , OC* = R* ; 
coscp 
3IH=— , OM* = r* , CC* = R-R* . 
COS(p 
*) Queste coniche, ognuna delle quali contiene i centri di curvatura degli elementi di trajet- 
torie descritte simultaneamente dai diversi punti di una retta (od è luogo de' punti i cui centri di 
curvatura giacciono in linea retta), si chiamano coniche di Rivals, il quale è stato il primo a 
notarle (giornale della Scuola politecnica, Parigi, 1858). 
