coincidenti, o immaginarie, secondo che M è interno, nella periferia o esterno all'epi- 
ciclo. Epperò l'origine è un punto doppio propriamente detto, una cuspide (e la 
curva si chiama allora cardioide), o un punto isolato (punto doppio con tangenti im- 
maginarie conjugate). 
Il polo de' flessi / (centro d'accelerazione) si sposta in una circonferenza concen- 
trica al deferente; con quest'ultima si confonde il cerchio delle cuspidi. L'accelerazione 
w che sollecita il punto M (nell'ipotesi di una rotazione uniforme w), e il raggio di 
curvatura p=:MM* della corrispondente trajettoria hanno per grandezze: w — ^a^lMy 
_ 'MO^ 
^ MK' 
Nel caso particolare della cardioide, quando M giace nella periferia dell'epiciclo, 
se congiungiamo M col centro C* del deferente, risulta: 1M=2 . C*M , 0K= OM; e, 
2 
quindi si hanno relazioni: tt?=2a)^ C*ilf,p= .MO, le quali possono tradursi in enun- 
ciati altrettanto semplici quanto interessanti. 
§ 22. 
Le cubiche circolari sono espresse in coordinate Cartesiane rettangolari dall'equa- 
zione: 
e in coordinate polari da: 
r = a.sec6 — 6cos6 ; 
essendo a la distanza dell' assintoto dal punto singolare (origine delle coordinate) e b 
il diametro del cerchio direttore della cubica; l'assintoto è perpendicolare all'asse delle 
ascisse (asse di simmetria della curva). 
La forma della cubica dipende dalle grandezze dei parametri a , b. Per b<C,a, ab- 
biamo Ì3i pericissoide ; per b = a, la cissoide, e per 6>>a la ipocissoide. Il punto sin- 
golare è ordinatamente: punto isolato, cuspide, o punto nodale. 
Nella trasformazione di Thomson le coordinate della curva primitiva e quelle 
della curva inversa (per raggi vettori reciproci) sono legate dalle relazioni: 
X _y a' 
dove a' denota il rapporto d'inversioni. Ne consegue che ogni cubica circolare ha per 
curva inversa la conica: 
+ — a4 = 0 , 
con un vertice nel punto singolare della curva, il quale è al tempo stesso origine d'in- 
versione. In particolare: la pericissoide è l'inversa dell'ellisse; la cissoide della para- 
bola, e l'ipocissoide dell'iperbole. 
È notevole il caso in cui b = — a. La pericissoide che vi appartiene ha lo stesso 
assintoto e un'identica genesi della cissoide, e per ciò prende il nome di coniugata 
della cissoide. 
