— 24 — 
gruenti: la direltrice della parabola epiciclo passa costantemente pel fuoco della para- 
bola deferente; nella direttrice di questa scorre il fuoco di quella. 
11 polo dei flessi / percorre la retta BQ trajettoria del punto Q, che appartiene al 
cerchio dei flessi; similmente il polo delle cuspidi 7* percorre la retta AP che gira in- 
torno al centro P, ìi quale è contenuto nel cerchio delle cuspidi. 
Alla cubica descritta dal punto M conduciamo la normale OM che sega in K il 
cerchio dei flessi; tiriamo la congiungente IM. L'accelerazione w del punto il/, e il 
raggio di curvatura p della cubica sono espressi dalle relazioni: w=w:*IM , p = ^~ . 
Non è difficile tradurre quest'espressioni in termini de' parametri a , & , ma le for- 
molo che ne scaturiscono appajono mollo complesse e per ciò perdono ogni importanza. 
§23. 
Le podarie di una conica sono in generale delle curve razionali cicliche: del 4° or- 
dine, se la conica ha centro; del 3° ordine, se la conica è priva di centro. 
Cosi: se il polo coincide col centro della conica, esso è punto conjugalo (per l'el- 
lisse) della rispettiva quartica podaria, ovvero punto doppio (per l'iperbole) con tan- 
genti reali e distinte (normali agli assintoti dell'iperbole). 
Se il polo è un fuoco (dell'ellisse o dell'iperbole) la podaria si scinde nel cerchio 
direttore della conica e nel sistema di rette immaginarie che congiungono il polo con i 
punti ciclici (all'infinito) del piano. 
Nello stesso modo (per la parabola): la cubica podaria relativa al fuoco si risolve 
nella tangente al vertice della parabola e in quel sistema di rette immaginarie. 
Le podarie s'incontrano come trajeltorie de' punti di una figura piana mobile nel 
suo piano, quando le corrispondenti polodie sono curve congruenti. 
Allora quest'ultime curve si presentano l'una imagine dell'altra per simetria ri- 
spetto alla loro comune tangente t; qualsivoglia punto M ha il suo simelrico M^, il 
quale riesce in relazione di posizione col deferente come lo è il/ in confronto dell'epi- 
ciclo; epperò il punto M (mobile) nel descrivere la sua trajettoria (m) ha sempre per 
simetrico (rispetto alla retta variabile t) il medesimo punto (fisso nel piano). 
Ciò posto, assunto per polo (fig. 9) si costruisca la podaria Qi) del deferente; 
la normale nel punto N alla linea («) contiene il punto medio della retta OM, ed ò 
quindi parallela alla nomiate OJ/ della trajettoria (m); i centri di curvatura M*,N* si 
trovano allineati con M^, ed i corrispondenti raggi MM*, NN* stanno fra loro come 2:1. 
Donde segue che le curve (m) , {n) sono omotetiche; il/, è il centro di omotetia. 
Quando le polodie che caralterizzano il movimento sono coniche congruenti, cia- 
scuna trajettoria (m) riesce podaria di una conica (omotetica al deferente), e, se vuoisi, 
anche inversa (per raggi vettori reciproci) di un'altra conica. 11 punto il/^ che le corri- 
sponde è simultaneamente polo d'inversione e suo punto singolare. 
Un caso particolare interessante è illustrato nelle fig. 10* e IT. Gli estremi della 
retta PQ girano intorno ai centri fissi P*,Q* descrivendo cerchi di raggi eguali PP*=QQ*; 
la distanza de' centri è eguale alla lunghezza della retta, PQ = P*Q*; le rotazioni suc- 
cedono in guisa che il quadrilatero PP*QQ* risulti continuamente in forma di antipn- 
rallelograinmo. Se PQ<C.PP* (fig. 10) le rotazioni avvengono nello stesso senso; i 
