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raggi PP*,QQ* si segano nel polo istantaneo 0, e OP -\- OQ=OP*-]- OQ* = PP\ Se 
PQ^PP* (iig. 11) le rotazioni avvengono in senso contrario; il polo 0 è punto d'in- 
contro de' prolungamenti di quei raggi, e OP — OQ—OQ* — OP*=PP*. 
Per conseguenza, le polodie sono ellissi (od iperboli) congruenti, coi fuochi nei 
punti P,Q e P*,Q* e gli assi focali di grandezza pp*=QQ*, 
La quartica (m) percorsa da ogni punto M situato nella retta PQ o nel suo prolun- 
gamento, ha il punto singolare in dove la parallela condotta da M alla congiungente 
P*Q interseca la linea dei centri. 
Se indichiamo con 6 e 9 gli angoli che ^^o^f , P*P formano con questa linea e se 
poniamo: PP*= QQ* = a,PQ = P*Q* = b , PM= m , MJI = r; allora dall'esame del 
circuito chiuso PMAJ^P*P si ricavano le relazioni: 
(6 — 2w)cos0-f-<*-cos(6 — 9) = r , 6sen6 — a,sen(6 — 9) = 0 ; 
fra le quali eliminando l'angolo ausiliario 9 s'ottiene: 
,•3 _ 2 (6 — 2m) cos e . r — ém (b — m) cos'è — a' + 6^ = 0 , 
che è l'equazione della podaria di una conica (omotetica al deferente) col polo nel 
punto M<s. 
1 punti P , 0 in particolare descrivono delle circonferenze: ciò concorda col fallo 
che per l'ellisse (e per l'iperbole) la podaria relativa ad un fuoco si risolve in un cer- 
chio e nel sistema di due rette immaginurie. 
Facendo m = ^b, l'equazione precedente si cambia nella più semplice: 
che rappresenta il luogo percorso dal punto medio della retta PQ. Se PP*, QQ* sono 
eguali ai lati e PQ ,P*Q* alle diagonali di un quadrato, abbiamo a* = ^ quel luogo 
riesce allora la lemniscata: 
r' = rt»cos2e . 
Aggiungiamo come conclusione: se si avvicinano le su espresse deduzioni a quelle 
del § 22, dove si realizzarono parabole congruenti per polodie del movimento, si vedrà 
che esse si completano a vicenda nel riflettere la genesi di una medesima famiglia di 
curve. 
§24. 
Una considerazione superQciale potrebbe far credere che la congruenza delle po- 
lodie sia condizione necessaria affinchè le curve trajettorie riescano podarie di coniche. 
Ma l'illusione svanisce col por mente alla soluzione del problema seguente: 
Gli estremi i>, Q della retta PQ (tìg. 12) descrivono dei cerchi di centri P* , Q* ; il 
raggio di un cerchio è eguale alla distanza dei centri, PP* = P*Q* = a; il raggio del- 
l'altro alla lunghezza della retta, PQ=QQ* = b. Supposto a<b, il quadrilatero PP*QQ* 
Atti — Voi. IX- Serie 2*- N." 12. •* 
