Sono fra loro congiunte le due rette di cui abbiamo scritte le equazioni in una stessa 
orizzontale. 
A codeste tre coppie di equazioni si soddisfa ponendo rispettivamente: 
A^a, : Aa«.j : AjWg : 
-K) ■■ 
- 1 )X. : 
+ 1 , 
» 
= A\ + ■■ 
-K) ■■ 
+ 1 )X, : 
(1 
— i )X, ; 
» 
+ X,)X.: 
-K) : 
- 1 )^ , 
» 
= ^U, + K) ■■ 
(1 
-i )X,: 
Oh 
-K) ■■ 
+ 1 ; 
-1)X. 
+ 1 )A, : 
(K 
-K) . 
» 
= ^U, + K) •■ 
-0- 
+ 1)^, 
(1 
Oh 
Le coordinate del punto corrente su ciascuna curva doppia di S^'® rappresentata 
da una di queste rette sono quindi ordinatamente : 
3 3 3 3 
A^w^: k^x^: A^x^: ^^Xi = (X^-{- X^Y : (X, — X,)* : — 4X,* :— 4X^* ; 
= (X. + X,)^:- 4X,^ : (X, - : - 4X,^ ; 
» ={X,-\- X,y : - 4X/ : - 4X,* : (X, - X,)* . 
E facile verificare che per ciascuna di queste quartiche gobbe razionali doppie per 
Sji" i punti di contatto stazionario dei quattro piani principali formano un gruppo armo- 
nico; la quale circostanza ne assicura *) che ognuna di esse possiede un punto doppio. Si 
riconosce poi che, su ciascuna delle medesime curve, il punto doppio corrisponde ai 
valori dzi del parametro X^:X.^; e si trova pure che questo punto doppio è comune 
alle tre quartiche, ed è il punto centrale della superficie S^'®. 
15. A meglio convalidare questi fatti stabiliamone altri, pure molto semplici. Per 
mantenerci nelle condizioni generali occupiamoci soltanto della quartica 
Ap^^p : \oc^ : a',^, : = (X, + X,)^ : (X, - X,)* : - 4X/ : - 4X,* . 
Si sa che per una quartica razionale gobba spassa uri unica quadrica, a meno che 
tale curva non sia dotata di punto doppio. Nel caso nostro si trova di leggeri che per 
la quartica passano tutte le quadriche del fascio: 
62 6 1 62 62 33 33 
0 = k,{\Xp + A^x^ — A^x^ — A^x^ + UA^A^XpX^ — UA^A^x^x,) 
+ k^i^A^x^ + 5aV, — 48ApA'ga.-^a;g + 22aIa^x^x, 
■\- 4aIa^Xj,x^-{- AaIa]x^x^-\- AaIaIx^x^-\- 4A^A,x^x;) . 
Dunque la quartica in questione è gobba e possiede un punto doppio. 
*) Armenante, Sulle curve gobbe razionali del quart' ordine — G\ovn^\e di Battaglitii , voi. 
XI e XII (1873-74). 
