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facendo per brevità 
(in cui D , D y D. dinotano i segni di derivazione rispetto alle variabili 
x, y e z) si avrà l'equazione 
[U,a)=rUrh\ S n -\ e . U i+ ± r* « 2 © 2 0. + . . . 
«) 
. . . 4- JL „-« ? «e« (7. + * ? ©. J7.+ „» u.=0, 
gl'indici i eòj di lì dinotando che dopo le derivazioni si pongono le coor- 
dinate di <x>, o di <x>j invece di quelle di <x>. 
Le radici £ : yj dell'equazione (1) determinano rispetto alla coppia 
(a?;,®,), quale coppia fondamentale, n elementi <x>, che sono gli elementi 
comuni ad U ed IX. Supponiamo che, indipendentemente da <sv, si an- 
nulli 1' m"" termine dell'equazione (1), vale a dire che per tutte le 
m{m+-\) p ar tj z j on i (n^^y) ( ]i m — { s i abbia D x D f D U=0; osservando 
che pel teorema fondamentale sulle funzioni omogenee, posto 
« + \ J + 7 = f* — 1 > 
si ha 
a<-i 3 Y * £-*-x v a £ y+i a fi y 
aD, D.DM+yD^D, D s U+zD,D } D z U={n-*+\)D x D*D[U , 
se le derivate di U si annullano per tutte le partizioni di //, si annulle- 
ranno ancora per tutte le partizioni di ,a — 1 ; segue da ciò che nella sup- 
posizione fatta saranno verificate, indipendentemente da <»,-, tutte le re- 
lazioni 
(2) U c = 0, 0,£/,=O, 0 2 I/, = O ®p*U.=0; 
in tal caso ogni elemento IX appartenente ad od. ha generalmente con Um 
elementi comuni coincidenti in <b. ; si dice allora co. elemento multiplo di 
U, d'ordine m. 
Poste le relazioni (2), l'equazione 0"£/=O determina un gruppo g, n 
di m elementi IX appartenenti ad ce.; ognuno degli elementi di tal gruppo 
ha di comune con U, oltre degli m elementi coincidenti in a>. (come per 
ogni altro elemento IX appartenente ad <sj,) anche un altro elemento, in- 
