3. Sistemi armonici dei diversi ordini; ordine e classe delle forme . 
Essendo S„ il sistema determinato dalla forma ternaria V del grado n, 
riprendiamo l'equazione 
(U, a) = ?" U t +■ \ 0,4- ~ S""" «"e- £7.+ . . . . 
....4-— *"~ 2 5" 0? CT,. 4- i «i" -1 ? «, 4- «" ET . = 0 , 
che determina rispetto alla coppia fondamentale (a>. , co .) il gruppo G n degli 
n elementi a> comuni ad 5., ed fi; ponendo 1' una o l'altra dello condi- 
zioni ® r .U.=0, O U,=0, nella prima delle quali si riguarda come 
dato®., e nella seconda come dato a.-, si ha*) il gruppo G r . degli elementi 
armonici a>j d'ordine r di o>. , o il gruppo G f . degli elementi armonici 
co, d'ordine s di co., rispetto al gruppo G ; variando quindi fi, rimanendo 
fìsso x. o l'equazione 0'£/. = O, o ©'£/ =0, determinerà il sistema 
S rii dei gruppi G,.,,, o il sistema S s j dei gruppi G,,,; si diranno S rji ed 
i sistemi armonici d'ordine r o s di co. o a?, rispetto al sistema S„. 
Se ?• ed s sono complementari rispetto ad n, cioè se r+s=n, essendo 
allora identicamente & r U i =&' i U j si avrà la proprietà: se r ^cZ s sono 
complementari rispetto ad n , ed a>, appartiene al sistema armonico d'ordine 
r (/i a>. rispetto al sistema S„, apparterrà a>. al sistema armonico d'ordine s 
di a»,- rispetto al medesimo sistema S ;j : in altri termini co ; , o pure , ap- 
parterrà a tutti i sistemi S s ,,, o pure S rji , corrispondenti ai diversi ele- 
menti cc / di S rtiì o pure ai diversi elementi &\ di S, 
Il sistema S rji armonico d'ordine r di co- rispetto ad 5 essendo deter- 
minato dall'equazione 0"~" r £7==O, il sistema armonico d'ordine s di co, 
rispetto ad S rji sarà dato dall'equazione 0r*(0*"-0) = 0^.0=0, la 
quale determina ancora il sistema armonico d'ordine s di a), rispetto ad 
S u ; adunque se S rji è il sistema armonico d'ordine r di co. rispetto ad S„, 
supposto s <r, sistema armonico d'ordine s di a>. rispetto ad S„ sarà cm- 
c/>e iZ sistema armonico d'ordine s di co, rispetto ad S,,,. 
Essendo 0^/7=0, e 0"~' f/=0 le equazioni che determinano i si- 
stemi S r ,i ed 5„y armonici d'ordine r ed s di ao. ed ®. rispetto ad S nì i 
sistemi armonici d'ordine r-hs — n. di co- rispetto ad S rji e di a J rispetto 
ad S, , saranno dati rispettivamente dalle equazioni 0J~*0" r U=0, e 
*) Memoria prima sulle forme binarie di grado qualunque. Atti dell' Accad. Voi. IT. 
