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A! ,B',C 
A" , B" , C" 
A'", B'", C" 
(4"x,+ B"y t + C tt %M"** + B'Vu ' C'zJ..(,l"x„_„. . B'y n _,+C"z n _j 
con la solila avvertenza d'identificare tra loro le ombre dopo lo sviluppo. 
Indicando con $ un covariante di U , del grado x nei coefficienti di 
U, e del grado v nelle variabili, si considerino gli emananti (n — in)'"" 
e (y — //)'"" di un elemento ce rispetto ad U ed a 4> ; la risultante /?,„„ di 
questi due emananti (loro contravariante combinante) sarà un concomi- 
tante misto di U, del grado mK+pi nei coefficienti di U, del grado 
m(v — [A. )-)-■(*( 11 — m) tra le coordinate di od, e del grado mpi tra quelle 
di £1; per ogni coppia di elementi (o3,£l) appartenente a questo conco- 
mitante, i gruppi G m e G y . determinati da O nei sistemi armonici d'ordine 
m e \a di co rispetto ad U ed a <P hanno un elemento di comune. Gli n — 1 
concomitanti R ebe così si ottengono dando ad ni i diversi valori da 1 
ad n — l, si diranno i concomitanti associati di <S* , d'ordine fA, rispetto 
ad U. Se $ è la stessa l'orma U, il (a" 0 di questi concomitanti, che cor- 
risponde ad m=;j-, è chiaro che sarà nullo identicamente. 
Siano ora <£>'' due covarianti di U, dei gradi nei coefficienti 
di f/, e dei gradi v', v"nelle variabili; considerando gli emananti (n — m) m ", 
(v 1 — [;.')'"", e (v" — (jl")'"" di un elemento co rispetto ad {/, <!>' e <3>", la 
loro risultante /?.„^y (loro invariante combinante) sarà un covariante 
di U del grado m^V-f-xVj-r-^V nei coefficienti di il, e del grado 
m {[*.' v" -\- v' (A.")-\-n [*■'[/' — 3mfA'[A." tra le coordinate di ce; per ogni ele- 
mento co di questo covariante, i sistemi armonici d'ordine m,(A' e //' di 
cu rispetto ad U, e 4>" avranno un elemento di comune. Dando ad ?n 
i diversi valori da 1 ad n — 1 , gli n — 1 covarianti che così si ottengono 
si diranno i covarianti associati del sistema (<£',<£>"), d'ordine (ia' \(a") ri- 
spetto ad U. Se 3>' o <E>" coincide con U, il covariante associato corris- 
pondente ad ni— ia' , o ad m=,a", sarà nullo identicamente; se poi <!>' e 
<£" coincidono entrambi con U, sarà /L iU y divisibile per £7, ed il quo- 
ziente, del grado m(jA' -\ r a")-{-fA' (a" — 1 nei coefficienti di U, e del grado 
n(m(A'-\-m[A"-\-iA'[A" — lj — 'òmix'^" nelle variabili darà per i diversi va- 
lori di m i covarianti associati d'ordine ([a',[a") di U rispello allo stesso 
U ; se due tra i numeri m, ia', [a" sono eguali tra loro, il eovariate asso- 
ciato sarà nullo identicamente. Nell'ipotesi di n pari, una ricerca ana- 
