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Ioga alla precedente si potrà stabilire T considerando invece di U il suo 
contravariante armonizzante, e supponendo che $ , siano conlra- 
varianti di U. 
Indicando con U, ed U, i valori della forma U di grado pari n, per le 
coordinale di ce, ed co,, si ponga 
F=UU.U.— l 
x , y , z 
Ì 2/, . */ 
0 , 
il contravariante, o l'invariante , armonizzante della forma F, conside- 
rala come funzione di (#,y,;s), eguagliato a zero darà un'equazione di 
2", o di 3° grado in X, in cui i moltiplicatori delle diverse potenze di X 
saranno concomitanti misti, o covarianti misti di U. Se poi si eliminano 
le variabili (w , y , z) , (#;, y it Zi), (x,-, y )y z,-) tra le nove equazioni 
dF dF n dF n dF n dF n dF . dF . dF n dF 
— =0, — =0, — =0; — =0, — =0, — =0; — =0, — =0, — =0, 
dx dy di dx. dy i dz t dxj dy / dzj 
il che corrisponde a cercare la terna di elementi , ay,®,-) che rende X 
un massimo o un minimo, l'equazione finale in X, che dà questi valori 
massimi o mimini, avrà per moltiplicatori delle diverse potenze di X al- 
trettanti invarianti di U. 
Le stesse considerazioni valgono ponendo per una funzione U di grado 
3n, ed n pari, la relazione 
F=e &.e.U—l 
x , y , z 
% . Hi . «i 
= 0 
7. Forme sizigetiche ed involuzioni. Siano U s , U a , . . . U r . . U r più 
forme ternarie di grado n; ogni forma £/ determinata dall'equazione 
(1) 
U=k x U t + k 2 U 2 ... + kU i ... + kU r 
variando i rapporti tra i coefficienti k, si dirà forma sizigetica col sistema 
(U t , U z . . .U;. . .U r ); le forme U costituiscono una serie lineare (r — 1/", 
e si diranno tra loro in involuzione (r — \)'' ! " di grado n. E chiaro che le 
