Le lince a L , variando il piano P t intorno ad li, costituiranno una sc- 
rii- semplice di classe x, (<?,.); vi sono a linee della serie che toccano un 
piano arbitrario P; se di questo piano si costruiscano le intersezioni con 
la superfìcie conica 2 che nel sistema 0 corrisponde al punto d'incontro 
p diP ed Zi, i x piani condotti per queste intersezioni e per R saranno 
i diversi piani Pi che determinano le linee a k della serie che toccano P. 
L'inviluppo delle superfìcie coniche v<, ed il luogo delle linee a t . delle 
serie (Si.)» si ottengono esprimendo che due dei valori di a:b e di 
A:B ricavati dalle equazioni (3) siano eguali tra loro; si perverrà così 
evidentemente (esprimendo le forme 0 e 6 con ombre disgiunte) alle 
stesse equazioni ottenute precedentemente 
(4) Q=II(SX+uY+SZ+tT)'=0 , « = n(Zx+u>j+zz-hity = 0 , 
nella prima delle quali essendo (X, Y,Z,T) le coordinate del piano P con- 
dotto pel punto e per la retta (r,R), e nella seconda essendo (x,y,z,t) 
le coordinate del punto d'incontro p del piano P con la retta (R,r), sarà 
Hy — Gz + Lt Fz—llx + Mt _ Gx — Fy-hNt Lx-+-My-hNz 
X T ~~Z = T 
hY—fjZ-hlT fZ—hX+mT _ gX—fY+nT iX-hmY-hnZ 
x y z t 
segue da ciò che le equazioni 11=0 ed <z>=0 saranno del grado 2>t(jt — 1) 
rispettivamente in (x,y,z,t) ed in (X,Y,Z,T). 
La superficie O, d'ordine 2st(n — 1), è la locale del punto p pel quale 
due delle v. tangenti condotte alla linea a che corrisponde in 6 al piano P 
condotto per/) ed R sono tra loro coincidenti, laonde D. è costituita da 
tutte le linee a corrispondenti ai diversi piani P condotti/?; similmente 
la superficie s>, di classe 2x (»t — 1), è l'inviluppo del piano P pel quale 
due delle se intersezioni con la superfìcie conica 2 che corrisponde in 0 
al punto d'incontro /) di P ed r sono tra loro coincidenti, laonde ce è lo 
inviluppo di tutte le superfìcie coniche 2 corrispondenti ai diversi punti 
p di r; adunque V inviluppo delle superfìcie coniche 2 corrispondenti nel 
sistema di rette 0 ai diversi punti di una retta, ed il luogo delle linee a cor- 
rispondenti nel sistema di rette 6 ai diversi piani condotti per la stessa retta, 
è una stessa superfìcie (Ci, ce) di ordine e di classe 2x(k — 1), se uè il grado 
del sistema (0,6). 
