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Monoidi. Loro rappresentazione piana 
1. Consideriamo un moiioide (irriducibile) F: ossia una superficie di ordine w, 
dolala di un punto (« — l)plo 0. 
Nel punto 0 vi sarà un cono tangente x, di ordine ìi — 1 , costituito dalle rette 
che hanno in 0 contatto ii — punto con F; e su tal cono vi saranno n(^n — 1) rette 
appartenenti a F. Esse costituiscono la completa intersezione di x col cono che da 
0 proietta una sezione pinna arbitraria, non passante per 0. 
Un piano passante per 0, e che non faccia parte di sega F in una curva 
di cui 0 è punto {n — 1 ) pio, e le cui tangenti in 0 sono le intersezioni del piano 
con X- Se il piano fa parte di x, esso sega F in n rette, distinte o coincidenti, 
passanti per 0. 
11 monoide è perfettamente individuato quando si dia: il punto 0 col cono x, 
una sezione piana non passante per 0, e un altro punto qualunque. Ciò può ve- 
dersi, ad es. , mediante la rappresentazione analitica di F. 
2. Supponiamo che F sia definita da una equazione a coefficienti reali, e che 
0 sia reale; talché sarà reale F. Tra le rette di F passanti per 0 consideriamo (ove 
esistano) quelle reali; e diciamo a una qualunque di esse, che supporremo multi- 
pla secondo s [ler F; a sarà s-pla, almeno, per x- Noi imporremo la restrizione 
che gli s piani tangenti a F in un punto variabile di a siano lutti distinti e varia- 
bili; 0, come più brevemente diremo, che a sia s-pla ordinaria per F *^). Gioverà 
tener presenti alcune conseguenze di tale ipotesi. 
a) Un piano variabile attorno ad a sega F nella retta a, contata s volte, e 
in una curva residua C„_^ , di ordine n — s, avente il punto 0 come {n — s — 1) pio. 
Questa curva non conterrà mai la retta a; e la sua ulteriore intersezione con a 
sarà variabile col piano. 
b) Un punto arbitrario di a (astrazione fatta da 0) non può essere più che s-plo 
per F. Giacché, se fosse (s + l)pló , esso sarebbe intersezione fissa di a colla C„_, 
di cui sopra. Così la F non possiederò punti multipli reali fuori delle rette a multiple. 
c) Un punto arbitrario di a (astrazion fatta da Q) é s-plo per una sezione 
piana arbitraria condotta per esso, e non contenente 0; ed (s -|- 1) pio soltanto per le 
sezioni fatte cogli s piani tangenti in esso a F. 
dj La retta a ha esattamente la multiplicità s pel cono x- Se infatti a fosse 
(s+l)pla per x, essa sarebbe una delle tangenti in 0 alla C„_^ di cui sopra; 
la quale perciò non avrebbe alcuna intersezione variabile con a. 
Ciascuno degli s piani tangenti lungo a al cono x sega F ulteriormente in una 
^n-s> per cui a é una delle tangenti nel punto 0. 
e) La punteggiata a è riferita proiettivamente a una involuzione di ordine s nel 
fascio di piani a\ involuzione che non ha piani fissi. ì piani corrispondenti a un punto 
*) Questa restrizione non è propriamente essenziale : la introduco per semplificare. Cfr. il n. 20. 
