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qualunque di a, diverso da 0, sono i piani tangenti in esso a F; ad 0 corrispon- 
dono i piani tangenti lungo a al cono '/L'involuzione si designerà con . 
Si noli che nella corrispondenza (Ls) che intercede fra la punteggiatala e il 
fascio di piani a, a un piano reale corrisponde un punto reale, a un punto reale 
corrispondono s piani, reali o no. Un segmento di a, ai cui punti interni corri- 
spondono T<s piani reali, si dirà parzialmente o lolalmente isolato, secondo che sia 
7>0, 0 7=0. Diremo poi punti cuspidali quegli eventuali punti reali di a, cui 
corrispondono gruppi della I,, con coincidenze reali. 
3. Volendo rappresentare sul piano il nostro monoide, faremo uso, se 0 è 
proprio, del metodo della proiezione centrale, prendendo 0 come centro di proie- 
zione; diremo n il quadro. Se poi 0 è impi oprio , useremo il metodo della proie- 
zione ortogonale; diremo ir il piano orizzontale, o quadro, che supporremo per- 
pendicolare alla direzione di 0. 
La superficie F e il piano n sono così riferiti biunivocamente; e su F gli ele- 
menti fondamentali della rap[)resent;izione sono: il punto 0, ai cui punii infinita- 
mente vicini corrispondono i [)uiili della curva K , sezione di -/ con n (curva fon- 
damentale di tt); le rette di F passanti per 0, alle quali corrispondono su ir le 
rispettive tracce (punti fondamentali di ir). 
Chiameremo A il punto fondamentale traccia della retta a; e diremo che esso 
è s-plo ordinario, per ricordare che a è s-pla ordinaria *). Nel fascio di raggi A si 
ha una involuzione semplicemente infinita I;^ , di ordine s, privi di raggi fissi: essa 
è la sezione fatta con n della involuzione I^. Ad ogni punto di a, pensato sopra 
un determinato intorno infinitesimo su F, è associata una retta per A; e viceversa. 
L'insieme delle rette associate a un medesimo punto di a è un gruppo della . 
L'imagine di una sezione piana di F, non passante per 0, è una curva di 
ordine n, della quale A è punto s-plo; le sue tangenti in A costituiscono un 
gruppo della 1^ . 
L'imagine di una sezione piana passante per 0 è la traccia del piano, se 
questo non fa parte di z; in caso contrario è costituita dalle tracce delle n rette 
per 0, in cui il piano sega F. 
Se 0 è proprio, per individuare il monoide daremo sul quadro:' la curva fon- 
damentale K, la curva di fuga iì' (proiezione della curva impropria di F), e un punto 
della sezione con ir. Se poi 0 è improprio (talché useremo, come s'è detto, il me- 
todo di Monge), supporremo dati sul quadro: la curva K, la sezione del monoide 
con IT, e la coppia rappresenlatrice di un punto qualunque di F. hi questo caso 
la imagine O' della curva impropria del monoide ò la retta impropria di ir; ovvero, 
se il piano improprio fa parte di x, è costituita da n punti impropri fondamentali. 
Volendo studiare le proprietà di connessione del nostro monoide, occorre fare 
una piccola digressione per richiamare qualche nozione di Analysis situs. Avver- 
tiamo che d'ora in poi, quando parleremo di punti, rette, piani, curve, superficie, 
sottintenderemo sempre l'aggettivo reale. 
*) A è anche punto base s-plo ordinario pel sistema lineare oo', costituito dalle curve proie- 
zioni delle sezioni piane di F. 
