da bande opposte di esso. Se "a non si appoggia ad alcuna rella a, la sua imagine 
?" non contiene alcun punto A; e le c^,c^, si piojetlano in due linee c\,c\, vicine 
a ct', e da bande opposte di esso. Ma se invece a si appoggia in un punto P alla 
retta a, divaricando il taglio il punto P si sdo[)pia in due punti di a, cui sono 
associ;ite due direzioni diverse usce[ili da A; opperò le proiezioni c', , c', , di c, ,c, ,. 
si allrnversano in A. Mediante questa osservazione si costruisce subito tutta l'ima- 
gine c' de! contorno c. Nella tìg. 7 sono dati alcuni esempi per la linea a, e la 
corrispondente c. 
15. Quanilo un putito si muove sul contorno c, la sua imagine si muove su 
C; senza, beninteso, cambiar direzione, allorché passa per un punto A. Per vedere 
se il cammino o è di 2* o di P specie , occorre vedere se c' è o no percorribile 
di un sol tratto. Ora la risposta a lai quislione è immediata (fig. 7): c consta di 
una 0 di due linee, secondo che il numero dei suoi passaggi per punti A sia di- 
spari 0 pari. 
E così possiamo enunciare la segueiUc regola generale: 
Condizione necessaria e siifficienle perchè il nostro monoide F contenga qualche 
falda unilatero , è che sul quadro n esista una linea pari a', dotata delle pro- 
prietà 1, li, in, di cui al n. i3, e contenente un numero dispari di passaggi per punti A. 
§ V. 
Osservazioni , applicazioni , esempi 
16. Nell'applicazione della precedente regola gioverà tener presente che: su 
un piano due linee chiuse si incontrano (tagliano) un numero dispari di volte, se 
entrambe dispari ; e un numero pari di volte negli altri casi *). 
17. Nel caso (generale) in cui i punti A siano tutti semplici, il monoide non con- 
tiene falde unilatere. Infatti una linea pari di « (dotala «Ielle solite proprietà 
I, li, IH) deve incontrare un numero pari di volte ciascuna delle linee costituenti la 
curva fondamentale K; e poiché ogni punto A , essendo semplice per K, sta sopra 
una sola di tali linee , ogni passaggio di a' per un punto A rappresenta un punto 
di incontro di a' con una di quelle linee. Ora, poiché a' non incontra K fuori dei 
punti A, il numero dei suoi passaggi per tali punti deve esser pari; opperò a rap- 
presenterà necessariamente un cammino di V specie. Dunque, nel caso attuale, 
F non può contenere falde unilatere. 
Cosi, per trovare esem[d di monoidi contenenti (|ualche falda unilatera, occorre 
considerare quelli possedenti qualche rella a multipla **). Ad es., trai monoidi cubici, 
solo le rigate posson essere unilatere. 
18. Una vasta classe di monoidi contenenti qualche falda unilatera si ha, sup- 
ponendo che 0 sia proprio, e che un punto A (multiplo di ordine pari) sia isolato 
per K e n'; ovvero che 0 sia imfiroprio , e che un punto A, proprio, sia isolalo 
per K. Si può anzi allora abbandonare, per gli altri punti fondamentali, l'ipotesi 
che siano ordinari. 
*) Cfr. Staudt, Op. cit. , § 12, n. 167. 
■*) Ammessa sempre, beninteso, la restrizione che le rette a siano ordinarie (n. 2). 
