- 9 - 
È chiaro infalli che nel caso alluale si può tracciare su n una linea <?', dolala 
delle solile proprielà I, li, III, passante (una volta) per A, e per nessun altro punto 
fondamentale; e questa ra[)presenterà un cammino di 2*^ specie. 
Rientra, ad es., nel tipo di monoidi ora consideralo, una rigata cubica gene- 
rale , in cui la retta doppia sia al finito, e il suo punto improprio sia interno al 
segmento isolalo (tipi I e VI della classificazione falla nel citato lavoro del Severi). 
19. Consideriamo la superficie di Steiner rappresentala in una qualunque delle 
figure 2, 3, 4. La falda corrispondente alla regione non tratteggiata è evidentemente 
unilatera : la linea a', tracciala in figura, rappresenta un cammino di 2^ specie. 
L'altra falda è bilalera. 
Invece le due falde dell'altra superficie, rappresentata nella fig. 5, sono bilatere; 
e cosi è bilatera la superficie rappresentata nella fig. 6, e che è coslituila da una 
sola falda (n. 11). 
Del resto le proprietà di connessione della superficie di Steiner possono tro- 
varsi per una via più breve (ma meno elementare), ricordando che essa può mettersi 
in corrispondenza biunivoca, senza eccezione, con un piano n *). In questa corri- 
spondenza alle sezioni piane della superficie corrispondono su 'n le coniche di un 
sistema lineare oo', privo di punti base ; e ai punii della superficie , dotali di iu- 
torno superficiale reale, corrispondono i punti reali di «. Talché, detta <p la conica 
di IT, imagine della quarlica impropria della superficie, questa, dal punto di vista 
dell'rt«fl/ys/5 sii US , si potrà assimilare al piano ir, concepito come varietà chiusa 
(n. 8); e taglialo lungo 9, se <? è reale. In quest'ultima ipolesi è chiaro che, se 9 
é irriducibile, ovvero consta di due rette distinte, essa divide 11 piano in due re- 
gioni, imagini di due falde della superficie; e che se 9 è irriducibile, la regione 
dei punti ad essa esterni rappresenta una falda unilatera: ogni retta esterna a 9 è 
imagine di un cammino di 2* specie. Se poi 9 è imaginaria , la superficie consta 
evidentemente di una falda unilatera **). 
20. Il metodo di ricerca seguito nello studio delle proprielà di connessione 
del monoide F, si può pure applicare, senza gravi diffìcollà, quando si abbandoni 
l'ipotesi, falla a principio, che le rette a siano ordinarie (n. 2). 
Per non dilungarci soverchiamente daremo un esempio. Supponiamo che una 
retta a sia semplice per F, e non contenga, oltre 0, alcun punto multiplo; e che 
in tulli i suoi punti il piano tangente a F sia lo slesso , « , e questo non tagli la 
superficie lungo a. Un cammino a che attraversi la a in un punto P, diverso da 
0, ha per imagine una linea a che tocca la traccia di a nel punto A, traccia di 
a. Ed è chiaro che ora , se si esegue un taglio lungo a, e si divarica il taglio , i 
due bordi in vicinanza di P si [)r(ijeltano sul quadro in due linee che in P si 
toccano. 
*) Ciò può ottenersi, ad es., pel tramite della superficie di Veronese, di cui la superficie 
di Steiner è projezione. 
**) Si può anche facilmente studiare la distribuzione sulla superficie delle tre specie di co- 
niche, osservando che queste sono rappresentate dalle rette di it. Cosi p. es., se 9 è reale e irri- 
ducibile , la superficie contiene coniche delle tre specie : le ellissi e le parabole sono tutte sulla 
falda unilatera (per cui le prime sono cammini di 2^ specie); le iperbole hanno un ramo au cia- 
scuna falda. 
Atti— f'o/. X7 F- Serte Po— N.f 4. 2 
