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Le figure nella configurazione armonica. 
23. La nuova notazione degli elementi della configurazione armonica (v. 76 e 77) 
ci permette di ricavare un insieme di proprietà nuove, che si connettono alle figure <J>. 
Le 32 rette a sulle quali a tre a tre giacciono i punti fondamentali, si possono 
distribuire nei due determinanti : 
A = 
t? 21 <Z M £I 23 G5 sl 
^31^34^33*^8* 
a 41^42^43^11 
A' = 
a 41 «*W* 
1 12 termini positivi dello sviluppo di A rappresentano i 12 punti d'incontro 
delle rette al a quattro a quattro (vertici del 1° sistema desmico): 
■^21*3 ^12^21^3*^1 
'21*3 
l 2*31 
12^24^33^41 
■^■3112 ^13^2**^34^42 
A,., 31 ^11^22^33^'i* 
1*13 == ^1 1^24^32^43 « -^231* == ^12^23 ( ^:ll'^44 \ -^3241 == ^ 13^22^34^ 41 l A 41 32 ==: & \ 4^2 1^23^ 12 
I 'l3"'21'- t '32 M '44 
■^4321 ^14^23^32^41 
■^•4213 == ^14^22^31^*3 
La permutazione dei primi indici delle a è la permutazione principale, le per- 
mutazioni dei secondi indici sono le 12 permutazioni pari, compresa la principale. 
I 12 termini negativi dello sviluppo di a' rappresentano i 12 punti d'incontro 
delle rette a* a quattro a quattro (vertici del 2° sistema desmico): 
A m3 = a l WV 3 lA.^a'WV ( A 3m = a 1 VW 1 [ A^.sa'W'fl" 
A^^a'WV* 
A lsSi = a u aW 
-^234. 
A ni3 = a^VW 3 
A 3lli = a ,;, a' 2 *a 31 a 4 * 
A 3U2 = a 13 a"a' V 1 
La permutazione dei primi indici è 1234, le permutazioni dei secondi indici 
sono le 12 permutazioni dispari. 
In tal modo i 24 punti fondamentali sono rappresentali mediante le 24 permu- 
tazioni di 4 elementi. Partendo dai 3 punti : A 123l , A ms , A )413 ed operando sugli 
indici le sostituzioni del gruppo anarmonico si hanno i 3 tetraedri (o quadrangoli) 
desmici del 1° sistema (punii disposti sulle 3 orizzontali). Partendo dai punti: A 1S43 , 
A 1432 , A im si ricavano in maniera analoga i 3 tetraedri (o quadrangoli) desmici del 
2° sistema. 
I 24 punti A e le 32 rette a' j , a. costituiscono una Cfr. (24 t 32 3 ) di punii e rette. 
Ad ogni sottogruppo del gruppo totale di sostituzioni su 4 elementi corrisponde 
un raggruppamento notevole degli elementi della conlìgurazione armonica. Per esempio, 
operando le sostituzioni di un sottogruppo ciclico sulla permutazione di un punto 
A^ si ottiene il gruppo armonico dei 4 punii situati su una delle 18 ielle, spigoli 
ilei tetraedri dei due sistemi desmici, e cosi via. 
