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I triangoli rappresentati dalle verticali di «, a od <*" sono gli stessi e formano 
la terna di triangoli triomologici della configurazione. Le altre proprietà si possono 
pure dedurre dalla forma di questi determinanti. 
33. Preso il determinante a come rappresentante della configurazione si possono 
immediatamente trovare le sostituzioni, che operando sui 9 punti trasformano in sè 
slesso ciascuno degli aggregati costituiti dalle 3 rette estranee: A n A 12 A 13 , A sl A 22 A 23 , 
A 31 A 3S A, 3 e dalle altre 6 rette. 
Sia S la sostituzione, che si ottiene permutando ciclicamente le orizzontali di 
a, cioè: 
S = (A 11 A 21 A 31 ) (A 12 A 22 A 32 ) (A 13 A 23 A 33 ) . 
Sarà S a = (A 11 A sl A st ) (A 1S A 8S A 23 ) (A 13 A 3S A a3 ) ed S'sl. 
Il sottogruppo G 3 = (l, S, S' 2 ) permuta ciclicamente ciascuna delle 3 terne di 
rette estranee. 
Sia T = (AjjA^Ajj) (A 21 A 23 A 22 ) (A 31 A :ì3 A 3 J la sostituzione che si ottiene permu- 
tando ciclicamente le verticali di «, sarà T = (A^A^A^) (A 21 A S2 A 23 ) (A 31 A 32 A 33 ) e 
T'sl. 11 sottogruppo G' 3 = (1 , T , T) lascia inalterate le rette della prima terna e 
permuta circolarmente le rette delle altre due. 
Mediante S e T formiamo le altre sostituzioni ST , ST , S 2 T , S 2 T 2 , che insieme 
alle precedenti dànno un gruppo abeliauo G 9 . 
Indichiamo ora con IT la sostituzione, che lascia inalterata la i™ orizzontale 
di a mentre permuta le altre due e con W, quella che lascia inalterata V i' na ver- 
ticale permutando le altre due. È facile vedere che le \J i , W. sono legate alle S , T 
dalle relazioni : 
L U,U 2 =U 2 U 3 èsU.U, =S« 
f U t U, =U,U, = U 2 U, =S 
l W ,W, = W s W a = W,W, = T' 2 
f W, W, = W.W, = W a W, = T . 
Moltiplicando le U,. per le W i si hanno le altre nove sostituzioni U„=\jyf , 
anch'esse del 2° ordine. I prodotti UW, sono permutabili e dalle relazioni prece- 
denti risulta che : 
i U, se j=h 
J I U/T oppure U 4 T se j^zk 
l W. se t = h 
J / SWj. oppure S'W,, se ijzk. 
Anche i prodotti UT , UT 2 , SW. ed S' 2 W ( sono permutabili. 
In tulio si hanno 36 sostituzioni: le 9 di G, ; le 6 sostituzioni U, , W, ; le 
nove U, ( e le dodici TU, , TU, , SW. , S'W< . 
