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passino tre rette e su ogni retta, eccetto che su tre, giacciano 3 punti; sulle 3 rette 
eccezionali si trovano due punti invece di 3. Ve ne sono di cinque tipi, duali di 
quelli esaminati. 
Si trovano cosi le 5 figure: «'6, , «'7 S , <x'9 8 (tipo a o b), «9 3 (IV tipo) ed a'8 3 . 
I gruppi di queste figure sono oloedricamente isomorfi ai gruppi di 2, 4 o 24 
sostituzioni che mutano in sé slesse le figure a corrispondenti. 
§ ~- 
Operazioni w i ed w 2 . 
8. Per i 3 punti eccezionali a,b,c di una fig. an s si conducano 3 rette ar- 
bitrarie che formino il triangolo ABC; si avrà una fig. a(n-\-S) s con i punti ecce- 
zionali A , B , C. Questa operazione geometrica, con la quale, da una fig. *n s qua- 
lunque si ricava una fig. «(« + 3) 3 di 4° tipo, la chiameremo operazione a> t . Essa 
gode della seguente proprietà fondamentale: 
// gruppo della fig. a(n + 3) 3 è oloedricamente isomorfo al gruppo della figura 
ai\ primitiva. 
Per dimostrarlo segneremo i punii A,B,G in modo che AB passi pere, 
BC per a e CA per b. In questa ipolesi è facile vedere che: 
1. ° Se A,B,C restano fermi, anche a,b,c restano fermi e viceversa. 
2. ° Se A , B , C si permutano ciclicamente, anche a , b , c si permutano cicli- 
clamente nello slesso modo, e viceversa. 
3. ° Se un punto eccezionale A resta fermo e gli altri due si scambiano fra 
di loro, il corrispondente punto a resta fermo e gli altri due si scambiano fra loro, 
e viceversa. 
Dunque, per passare dal gruppo della fig. an ì con i 3 punti eccezionali a,b,c 
al gruppo della fig. a{n + 3) 3 con i punii eccezionali A,B,C basta aggiungere ai 
cicli delle sostituzioni del primo, i cicli che si ottengono mutando a>b,c rispetti- 
vamente in A , B , C. 
9. Esempio 1.° Tre rette concorrenti in 5 si sechino con le due rette 12 6, 43 a 
e sia c = (1 . 4) (2 . 3) ; risulterà la fig. «8 3 (fig. 8 a ) con i3 punti eccezionali a,6,c. 
Una facile discussione condurrebbe a questo risultalo: la fig. a8 3 minima del 
2° tipo e la nuova fig. «8 3 di 1° tipo sono le sole fig. a8 3 possibili. La l a ha il 
gruppo di 4 sostituzioni (n. 3); l'altra ha il gruppo composto dalle 6 sostituzioni 
seguenti : 
0, = (5) (13) (24) («&)(<?) , 
g t = (3) (15) (24) (ac)(b) , 
fif 4 ,= (l)(24)(35) (6c) (a) , 
U, = (2) (.1) (153) iacb) , 
e,s(2) (4) (135) (abe) . 
Applichiamo l'operazione w 4 ed avremo la fig. «ll a rappresentata dalla fig. 8 a bis; 
