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Per passare dal gruppo di an s a quello di «(« + 4) 3 basta osservare che il 
punto D resta fermo e che A , B , C si permutano come i punti eccezionali a ,b ,c 
della figura primitiva. Quindi da ogni sostituzione del gruppo di *n 3 si ricava una 
sostituzione del gruppo di «(rc-f 4) 3 aggiungendo (D) ed i cicli che si ottengono 
dai cicli formali con a , b , c mutando questi punti rispettivamente in A , B , C. 
E si conchiude anche qui che: Le figure «n, del 6° tipo, che si deducono dalle 
minime fig. «n, mediante l'operazione w 2 hanno il gruppo costituito da 2, 4 oppure 
24 sostituzioni. 
12. Sia an 3 una figura « qualunque; se si applicano successivamente, prima 
l'operazione w t e poi la <a t si ha una fig. «(ft + 7) 3 ; se invece si applica prima la 
w s e poi la a), si ha un'altra fig. <*{n-{-7) 3 , la quale è distinta dalla prima. 
Si deduce da ciò un metodo per ricavare, [ter ogni valore di n , tutte le fi- 
gure an 3 del tipo qui studiato. 
Alla fig. «7 3 applichiamo successivamente x volle l'operazione &>, ed y volte 
l'operazione o> 3 ; otterremo una fig. an 3 se x,y soddisfano all'equazione indeter- 
minata 
3x -f- 4y = n — 7 . 
Da cui si ricava: 
x = — (n — 7) -f- ih 
y — \n — 7) — 3h . 
Perchè le soluzioni siano intere e positive dev'essere: 
E (»=i)<* <E (^). 
si troveranno cosi per k i valori k K , k t + 1 , . . . , k i + /. 
Per fc = fc, sia x-\-y ===fc t ; si dovranno eseguire n — 7 — 3&, operazioni w 2 e 
k t — (n — 7 — 3A;,) operazioni o>, ; ciò sarà possibile in 
( *' )=( K ) 
\n — 7 — 3hJ VAj — (n — 7 — 3&,)/ 
modi diversi. 
Sicché il numero delle fig. <xrc 3 distinte, che si ricavano partendo dalla a7 3 è: 
( *, \ ( K + l \ , / »i + 2 \ / k t + l \ 
\n — '! — :i/iJ n ~\n— 10 — 3hJ ^ \ n — 13 — 3ft, ) n * " n V n — (7 + 30 — 3/;,/ ' 
13. Esempio. Posto n = 30 si ha l'equazione: 3a? -f- 4y = 23 che ammette le 
due soluzioni intere: 
^ x = — 23 +4 .6 l x = — 23 + I . 7 
f y= 23 — 3.(5 ' / y= 23 — 3.7* 
Si ha qui k t = 6 ed / = 1. 
Si potranno perciò eseguire 5 operazioni a> 4 ed una operazione , oppure 5 
