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operazioni u, e 2 operazioni w, . Il numero delie fig. «n 3 che si possono ottenere 
per» = 30e (f)+Q=27. 
Dunque: Partendo dalla fig. a7 3 si possono ottenere 27 fig. a30 3 di 4° o 5° tipo 
col gruppo di 24 sostituzioni, e ciò mediante operazioni co f ed to 4 . 
14. Si può prendere come punto di partenza la fig. a8 3 del n. 4 ed allora si 
possono ricavare fig. *n 3 col gruppo di 4 sostituzioni; basterà risolvere l'equazione 
indeterminala 
3x -\- Ay = n — 8 . 
Dalla fig. «8, del n. 9 si possono ricavare fig. an. s col gruppo di 24 sostitu- 
zioni, e così via. 
Si conchiude che: Per ogni valore di n si possono costruire insiemi di fig. an 3 
col gruppo di 2 , 3 , 4 , 6 oppure 24 sostituzioni. 
15. Le operazioni co, , w ì sono le più semplici fra quelle che permettono di 
passare da una fig. a« 3 ad una fig. <xm 3 con m^>n. Ve ne sono ancora altre, ma 
queste, o conducono a fig. <*(n-\-k) 3 con &>4, oppure sono tali che il gruppo 
della fig. an 3 non si può facilmente estendere. 
§ 3. 
Configurazioni irregolari », dedotte dalle figure a. 
16. Se una configurazione n 3 contiene una fig. «m s dovrà anche contenere una 
fig. a'(n — m) s circoscritta alla prima, cioè tale che il trilatero delle sue rette ec- 
cezionali sia circoscritto al triangolo dei punti eccezionali di . 
In base a questa osservazione ci riuscirà possibile costruire, per ogni valore 
ili »>»13 numerose configurazioni irregolari n 3 , mediante la composizione di una 
fig. am 3 con una fig. a'(n — m) s . 
La più semplice configurazione di questo tipo è la Cfr. 13 3 ottenuta compo- 
nendo una fig. al 3 con una fig. a'6 3 duale di a7 3 . 
La fig. a'6 s (fig. 10 a ), essendo duale di a7 :! risulta costituita da un quadrangolo 
completo: i 4 vertici 8.9.12.13 e due dei 3 punti diagonali: 10 e 11 danno i 
6 punti; i 6 lati e la congiungenle dei due punti diagonali danno le 7 rette; le 
rette eccezionali sono 8.9; 12.13; 10.11. 
La configurazione 13 3 ottenuta risulta dunque (fig. ll a ) costituita da un qua- 
drangolo e da un quadrilatero in tale posizione che il trilatero diagonale del 2° è 
circoscritto al triangolo diagonale del primo. 
Per trovarne il gruppo baslerà tener presenti i gruppi delle fig. «7, ed a'6, . 
Il gruppo di a7 3 è slato trovato nel u. 2: il gruppo di a'6,, oloedricamente 
isomorfo al primo é composto dalle sostituzioni seguenti: 
' l 0 == 1 l m t ==(10 . 9 . 12) (13 .11.8) <• m* ss (lo . 12 . 0) (1:5 . 8 . 1 1 ) 
\ I l aB(8)(9)(10.11)(12.13) \ )u t == (10.8. 12) (13 . 11 .9) \ m § »=3(10. 12. 8) (13. 9. 11) 
/,s=(89) (10) (11) (12. 13) I !»,==(10.8. L3)(ll -9. 12) ) w, 1 = (lo. 13.8)(11 . 12.9) 
m 4 'ss(10. 13. 9) (11 . 12. S) 
J i, SS (89) (10) (11) (12. 13) j m, = (10.8. 13) (11 .9. 12) J 
. = (89) (lo. ll)(l2)(13) [ *n t ss (10. 9. 13) (11. 8. 12) 
