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21. Configurazioni che contengono serie di poligoni successivamente inscritti. 
Sia data una serie di poligoni P t , P, , P, , . . . ? m successivamente inscritti, ma non co- 
stituenti un ciclo (P m inscritto in P m l , P m ( in P m J ... P 3 in ? ì , P s in P, , ma P, non 
inscritto in P ); si può, in modo abbastanza semplice determinare la configurazione 
a minima, che contiene tale serie. 
Sia jx il numero dei vertici di ciascun poligono, quindi la serie sia formata da: 
P, = A\ A\ . . . A*„ ; P s = Aj'A,* . . . A 2 „ ; . . . P, (l = A «A," . . . V . 
Il 1° è circoscritto al 2°, il 2° al 3° ecc. 
Su tutte le rette della figura cosi formata sono 3 punti, eccetto che sui lati 
di P m ; per lutti i punti passano 3 rette, tranne che per i vertici di P K 
Supponiamo ordinati i lati di P w nel seguente modo: p t =A t m A^" , p t =A t " A,'", .. . 
p = A "•A" 
Su p t scegliamo un punto arbitrario A, +1 e poi poniamo successivamente : 
A, = Aj Aj l • p s 
(m+li l»i+tl 
A —A A 1 .ti 
Ali = A u-l ' Po. ■ 
La figura risultante è una tìg. a[\i(m + 1)] 3 con i tre punti eccezionali A,» 1 , 
A,"" 1 " 1 , -V" +l (Cfr. la fig. 13, in cui n=4,m = 2). 
Componendo questa figura con la «'6 3 si ottiene la configurazione richiesta. 
La fig. a[fi(m + l)] 3 ammette per gruppo l' identità, quindi la Cfr. [fi.(m+l)+61 3 
ha il gruppo di 4 sostituzioni le quali permutano soltanto i punti della a'6 3 , in 
modo però che ognuna delle 3 rette eccezionali rimanga fissa (n. 16), delle 24 so- 
stituzioni bisogna prendere soltanto le / 0 , / t , / s , / s , che mutano in sè stessa cia- 
scuna retta eccezionale. 
22. Se la figura a[ji(m + 1)] 3 si compone con la figura a'7 3 si ha la Cfr. 
[ji(m + 1) + 7] s che contiene la stessa serie di poligoni ed ha il gruppo di 2 so- 
stituzioni. Componendola invece con le fig. «8 3 od a'9 3 (tipo a o b) si hanno altre 
configurazioni che ammettono per gruppo l'identità. 
Per jx = 3 si hanno le Cfr. (3m + 9) 3 , (3m + 10) 3 ,(3m + 11) 3 contenenti cia- 
scuna una serie di m triangoli successivamente inscritti; la minima è la Cfr. (3m+9) 3 . 
Viceversa: se p è la parte intera del quoziente di n — 9 per 3, 0 sarà il nu- 
mero dei triangoli della massima serie che può essere contenuta in una Cfr. n 3 com- 
posta mediante figure a. 
Infatti, se n — 9 = 30 si costruisca la fig. «(30 + 3) 3 col procedimento esposto 
nel n. 21 e poi la si componga con la «6 3 ; si avrà una Cfr. », contenente una 
serie di 0 triangoli. Se « — 9 = 30 + 1, la fig. «(30 + 3) 3 verrà composta con 
la o'7 3 e se n — 9 = 30 + 2 con la «'8 3 . 
