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Nella Cfr. », non vi può essere una serie di 0 + 1 triangoli, perchè la minima 
configurazione contenente tale serie è una Cfr. [3(0 + 1) + 9] 3 il cui ordine 
3,3 + 3 + 9 è maggiore di n (« = 3p + 9 oppure 30 + 10, oppure 30 + 11). 
Si comprende che in questo procedimento non si tiene conto delle serie ci- 
cliche di triangoli successivamente inscritti e che danno configurazioni regolari. 
Applicando ad una fig. «7 3 m volte successivamente l'operazione o> t si ottiene 
una fig. a(3m + 7), che contiene una serie di m triangoli; componendola con una 
fig. *'6 3 si ha una Cfr. (3m + 13) 3 che contiene la delta serie e che ha il gruppo 
di 96 sostituzioni. Però la Cfr. (3m + 13) 3 che contiene la massima serie di triangoli 
è diversa dalla precedente, perchè si ottiene componendo una fig. a[3(m + l) + 3], 
con la fig. o'7 3 e contiene per conseguenza m + 1 triangoli successivamente in- 
scritti ; il gruppo è un G 4 . 
23. Il problema risoluto nel n. prec. si può generalizzare: qual' è la massima 
serie di poligoni che può appartenere ad una Cfr. n 3 composta mediante fig. a. 
Sia 0 la parte intera del quoziente di n — ti — 6 per ji, cioè sia n — ja — 6 === 
0 . (a + r (r = 0 , 1 , 2 , . . . jj. — 1); 0 sarà il numero dei poligoni di ti vertici costi- 
tuenti la massima serie che può essere contenuta in una Cfr. n 3 . 
Infatti si costruisca (n. 21) la fig. *|"ji(P + 1)] 8 contenente una serie di 0 po- 
ligoni successivamente inscritti e la si componga con una fig. a '[6 + r] 3 ; si avrà 
una configurazione [pn + n + r + 6] 3 , cioè una Cfr. n a del tipo richiesto. 
Anche qui escludiamo naturalmente, le serie di poligoni formanti cicli e che 
danno configurazioni regolari. 
Osserviamo in fine, che se si toglie la restrizione che la Cfr. n 3 debba essere 
composta mediante figure a, il numero dei poligoni della massima serie può essere 
maggiore di 0. 
24. Configurazioni irregolari atrigone. Le figure <*n s finora considerale con- 
tengono tutte dei triangoli; proponiamoci di trovare la minima fig. an s alrigona. 
Siano r , r' (fig. 14; le i elle passanti per il punto eccezionale 15 ed r" una 
delle due rette passanti per il punto eccezionale 14. Gli altri due punti di r siano 
1 e 6, quelli di f siano 4 e 5 e quelli di r", 2 e 3. Il massimo numero di coppie 
di punti congiunti, che si possono formare con i detti sei punti, se si tiene conto 
della condizione dell'assenza di triangoli, è dato dalle coppie 1.2;6.3;5.2; 
3.4. Per 1,6,4,5 si conducano le terze rette a t , a 2 , a 3 , a 4 . 
La retta 1.2 può essere congiunta solo ad a k dando il punto 9, perchè se 
fosse congiunta ad a ì o a 3 la figura conterrebbe triangoli. 
La a t può essere congiunta a 3 . 4 dando il punto 12 e ad a s dando il punto 
7; la a t può essere congiunta ad a t (punto 10) ed a 2.5 (punto 11); a 3 può es- 
sere congiunta solo a 3 . 6 (punto 8). 
Il sistema dei 13 punii 15, 1,2... 12 ora costruito è quello che si ottiene 
imponendo la condizione di avere il massimo numero di congiunzioni compatibili 
con la condizione che la figura risulti atrigona. 
Premesso ciò, i punti per i quali passano soltanto due rette sono 7 , 10 ; 8,9 ; 
11 , 12. Il punto 7 può solo essere congiunto a 10, 8 a 9 ed 11 a 12. Posto perciò 
14 = r".(7.10) e 13= (8 9) . (11 . 12) si otterrà precisamenta la minima figura 
»n, alrigona: La minima figura an 3 atrigona è una «15 3 di 1° tipo. 
