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Generalizzazione delle figure a nel piano. 
29. Chiameremo figura <* k (n 3 ) un gruppo di n punii a 3 a 3 in linea retta e 
tale che mentre su ogni retta stanno 3 punti, [ter k degli n punti passano due 
ielle e per i rimanenti n — k ne passano 3. 
È facile dimoslrare che k deve essere multiplo di 3. 
Infatti sia m il numero delle rette che contengono gli n punti a 3 a 3, se per 
ogni punto passasse una sola reità, cioè se le rette fossero tutte separate, il numero 
dei punti sarebbe 3m. Un punto in cui concorrono due rette assorbe due dei punti 
di cui si parla, ed un punto in cui concorrono tre rette ne assorbe 3, dunque 
3>n = 2k + 3 (n — k) 
ossia 
3m = 3n — k 
da cui 
k =3(n — m) . 
Il caso più semplice si ha quando ii — i» = l; allora ft = 3 e si hanno le 
figure a di cui abbiamo già discorso. In generale, posto n — m=v si hanno le 
figure formale da n punti ed n — v ielle; su ognuna delle rette sono 3 
punii, per 3v punii (punti eccezionali) passano due rette e per i rimanenti n — 3v 
ne passano 3. 
30. Il caso successivo a quello delle figure « si ha considerando le fig. a a n s . 
Per i primi valori di n si possono facilmente trovare tulli i possibili tipi di fi- 
gure <z 6 n s . 
Di figure * 6 7 ( ve n'è un sol tipo, rappresentato dalla fig. 16 a , esso ha il gruppo 
costituito dalle 12 sostituzioni seguenti: 
Sj==l ; S,=(46)(57) : S, = (23) (lo) (67) ; S, = (23) (17) (56) ; 
S, == (24) (35) ; S 6 = (216) (357) : S T = (25) (31) (67) ; S, m (256347) ; 
S 9 = (26)(37) : S l0 = (261)(375) : S lt s (274365) : S„ = (27) (36) (15) . 
Vi sono 2 tipi distinti di fig. a 6 8 3 rappresentati dalle figure 17 e 18. Il primo 
ha il gruppo di 12 sostituzioni : 
S,==l ; S, = (34) (58)(67) ; S, = (35) (46) (78) ; S 4 = (37) (18) (56) ; 
S 5 = (368) (574) ; S 4 = (386) (547) ; S 7 = (12) ( 15) (68) ; S 8 = (12) (356784) ; 
S 3 = (12) (348765) ; S 10 = (12) (38) (57) ; S n = (37) ( 16) (85) (12) ; S„ = (36) (17) (12) . 
Il secondo ha per gruppo l'identità. 
Di figure « 6 9 3 ve ne sono 10 tipi diversi, 3 hanno per gruppo l' identità, 2 
hanno il grappo di 2 sostituzioni, una un G, , una un G, , una un G a , e due un G ti . 
