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La fig. 19 rappresenta le tre fig. a a 9 3 che hanno il gruppo identico e la fig. 20 
le due fig. * 8 9 3 che hanno il gruppo di 12 sostituzioni. 
Sarebbe abbastanza difficile la ricerca diretta dei varii tipi di fig. a 6 n s per 
n> 9; però, come ora vedremo, le dette figure si dividono in un numero limitato 
di classi; ciascuno degl'individui di una classe si ricava facilmente da un nucleo 
comune. 
31. Non tenendo conto dei sei punti eccezionali, restano n — 6 punti i quali 
si distinguono in 3 categorie: k t punti per i quali passa una sola reità, h t punti 
per i quali passano 2 rette e k ì punti per i quali passano 3 rette; sono escluse le 
rette che passano per uno solo degli n — 6 punti e per due punti eccezionali (rette 
che si possono condurre arbitrariamente quando siano dati gli n — 6 punti e le 
rimanenti rette). Sicché anche le rette si possono distinguere in 3 categorie: /, rette 
passano per uno solo degli n — 6 punti, /, rette congiungono due di questi punti, 
/ 3 rette contengono tre dei punti medesimi. 
Esempio. La fig. 21 a (a) rappresenta una fig. « 6 n 3 con i punti eccezionali : 
6, 7, 8, 9, 10, 11; le retle l t sono 1 . 10 . 11 , 5 . 8 . 9 e 4 . 7 . 6. 
Le rette rimanenti ed i5 punti 1, 2, 3, 4, 5 formano la fig. 19 6, dalla quale 
si vede che h t = 0 , h t = 3 , h t == 2 ; /, == 6 , /, = 0. 
Dalla fig. 19 6 si passa alla 19 a conducendo le tre retle arbitrarie /, . 
Chiameremo nucleo della fig. » 6 n 3 la figura che se ne deduce trascurando i 6 
punti eccezionali e le rette /, che contengono uno solo dei rimanenti n — 6 punti. 
Noi ora abbiamo scartato il caso in cui il nucleo contenga punti separati cioè 
punti per i quali non passa nessuna retta del nucleo (fig. 22). 
Non vi possono essere due punti siffatti, perchè se ciò fosse i 6 punti ecce- 
zionali si otterrebbero conducendo due terne di retle e poi trovandone le interse- 
zioni come nella fig. 17; allora il rimanente del nucleo dovrebbe costituire una 
Cfr. n 3 , ciò che noi escludiamo. 
Dunque di punti separati ve ne può essere uno solo (p. es. il punto 5 della 
fig. 22); ma allora, nel nucleo vi debbono essere soltanto 6 rette contenenti due 
soli punti; tulle le altre rette ne debbono contenere 3, cioè gli altri n — 7 punti 
del nucleo debbono costituire una figura duale di una an 3 e propriamente una 
fig. a e (n — 7) 3 formata da n — 7 punti e da n — 5 rette. Possiamo adunque, in 
ciò che segue, limilarci alle fig. « a n 3 il cui nucleo non ha punti separati. 
32. Col simbolo h, indicheremo nello stesso tempo i punti per cui passano i 
retle ed il loro numero; lo stesso dicasi del simbolo /. . 
Si hanno evidentemente le due eguaglianze : 
»-6 = ft i 4-ft, + ft 1 (1) 
n-2 = / 1 + / i + /, . (2) 
Poiché per ogni punto h t si possono condurre 2 rette /, mentre per un punto h t 
se ne può condurre una sola si ha pure 
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