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Il caso più semplice si ha per n — m = 1 ed allora h==.é è si hanno le figure 
a n 4 t'ormale da n punti ed n — 1 piani tali che in lutti i piani giacciano 4 punti, 
per 4 punti passino 3 piani e per i rimanenti n — 4 punii ne passino 4. Sarebbe 
facile procedere ad uno studio delle fig. a.n t analogo a quello del § 4. 
In generale, posto n — m = v si hanno le fig. « 1V (?0 di punti e piani, analo- 
ghe alle fig. a 3v 0O di punti e rette. 
41. Scartati i 4v punti eccezionali rimangono n — 4v punti che si dividono in 
4 categorie: fc t , k, , k s , h x . Con indichiamo i piani che contengono i punti ed 
anche il loro numero. Si avrà dunque la l 8 relazione 
n - 4v == k i + h 2 + h 3 -f h K . (1) 
Con /, indicheremo i piani che contengono uno solo degli n — 4v punii h { (piaui 
che si possono condurre arbitrariamente quando sia data la figura dei punti ft< e 
degli altri piani che contengono più di uno dei punti h^. Con l t , l 3 , l 4 indicheremo 
i piani che contengono due, tre o quattro dei punti k, . La figura formata dai punti 
A,,^,/;,,^ e dei piani / 2 , / 3 , I A sarà il nucleo della figura «. Anche qui si può 
scartare il caso in cui il nucleo possegga punti separati. 
Ciò premesso, si stabilisce subito la 2 a identità 
n — v = l t -f l t -f l 3 -f l k . 
Poiché di piani /, se ne possono condurre 3 per ogni h l , due per ogni h t ed 
uno solo per ogni h 3 si ha ancora 
l, = -òh, + 2k t -f h 3 . (3) 
Di più, n — v — / 4 è il numero dei piani del nucleo sui quali già vi sono 2 
o 3 o 4 punti hi\ se teniamo conto, non solo dei punii segnati, ma anche di quelli 
da segnarsi sui piani /, per completare la figura a,4(« — v — l t ) sarà il numero 
dei punti segnati e da segnarsi sugli n — v — /, piani considerali come staccali gli 
uni dagli altri. Ogni h t assorbe i di questi punti; su ogni / 2 se ne debbono se- 
gnare due e su ogni / 3 se ne deve segnare 1, dunque un'altra espressione del 
numero precedente è 4ft 4 + 3h 3 + 2k, + k t -f 2/ t + / :i e si ha la 4 a identità 
1 (n _ v _ y = + ; ihs + 2h t + k, + 21, + l, . (4) 
Sommando (3) e (4) si ha 
\ n _ u — :{/, = tft, + Ah 3 + \h t + ik t + 4- l 3 
e per la (1) 
in — U- Bl t = A (n — iv) -j- 2l t + / :l 
:!/, = l-2v-(2^ + / 3 ) 
/i = 4v-^±i?. (5) 
Dunque 2l t + /, è sempre divisibile per 3. 
