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« Si la solution... cherchée, dice il De Jonquières '), doit ètre gèo- 
mètrique, on devra, une fois la solution arithmètique obtenue, vèrifier si elle satisfait 
à des condilions que la thèorie générale des courbes fait connaitre avec précision, par 
un contròie dont la thèorie des trans formations Cremona fournit le moyen facile et 
presque intuilif » parole queste che nella loro indeterminazione non danno alcuna 
luce sull'argomento. 
Nella Memoria Su le reti omiloidiche di curve ') io indicai un criterio molto 
semplice per riconoscere se un dato gruppo cremoniano sia geometrico 3 ), criterio che 
ha origine dal noto procedimento di Clifford per ridurre una qualsiasi rete oma- 
loidica ad una rete di rette mediante successive trasformazioni birazionali quadra- 
tiche, di cui ciascuna produce il maggiore abbassamento possibile nell'ordine della 
rete 
Questo criterio che indicai brevemente nell'introduzione della mia Memoria, si 
fomla esclusivamente sulla proprietà che: 
Dato un gruppo cremoniano geometrico 6 |V ' = P,r 4 r g r 4 . . . r di ordine n >> 1 , se 
dai tre maggiori termini del gruppo si toglie la differenza e = (r, + r,+ r 3 ) — n, che 
pel teorema di Noether s ) - Eosane s 6 ) è maggiore di 0, il nuovo gruppo 
G' v "* che ottienesi, è anche esso un gruppo cremoniano geometrico di ordine n' = n — e. 
Questo gruppo G l¥_1 di ordine n O — ben determinato dal gruppo G' V1 — 
viene da me chiamalo gruppo di origine di (i v . 
Ora se di G v_ " si determina a sua volta il gruppo di origine G' v_s ', e cosi di 
seguilo, la serie G' v G v_ " G v-2 ... che ne risulta, e che designo col nome di serie 
di origine del gruppo G (V) , è completa, essa cioè termina con i gruppi di ordine 2 e 1. 
Invece nel caso che il gruppo G m non sia geometrico, la predetta serie è in- 
completa, cioè si arresta ad un gruppo G* di ordine maggiore di 2, pel fatto che 
l'ordine di tale gruppo è minore della somma dei primi due termini, sicché sot- 
traendo dal terzo termine il numeri» e"" già definito ne risulta un numero negativo. 
Perciò un gruppo cremoniano è geometrico, se la sua serie di origine è completa. 
1 gruppi G * +l \ che hanno per origine un gruppo geometrico dato G' x , sono in 
numero maggiore di 1, salvo il caso che G"" sia di 1° ordine. 
Ora in questa Memoria io indico il procedimento aritmetico col quale si co- 
struiscono con grande facilità gli anzidetti gruppi G ,x+ ", che stabilisco di chiamare 
gruppi discendenti da G"". 
E dopo avere esposto molteplici proprietà di siffatte discendenze, procedo a 
gradi a determinare i varii gruppi cremoniani geometrici di ordine 3,4,..,,n, 
') Elude sur une question d'analyse indéterminée. (Giornale di Matematiche, voi. 24, 1888). 
t j Rendiconti di questa Accademia (luglio 1905). 
•) Il procedimento da me indicato è stato riportato da Sturm nel 4° volume (pag. 55, § 803) 
dell'opera : Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften (Leipzig, 1909). 
) Cayley, On the rational transt'ormation between two spaces (Proceedings or' the London 
Mathematical Society, voi. Ili, § 69 e segg.). 
*) Ueber Flachen, welche Schaaren rationalen Curveu besitzen. (Mathematische Annalen, voi. Ili, 
pag. 166). 
*) Ueber diejeiiigen rationalen Substitutioneu welche eine rationale Umkehrung zulassen. (Gior- 
nale di Creile, voi. 73, pag. 109). 
