notando che ì gruppi geometrici di ordine n si presentano « ciascuno una sola volta » 
fra i gruppi che discendono da quelli di ordine minore, epperò sono noli quando 
queste discendenze siano state costruite. 
In sostanza ogni gruppo geometrico G n è da me ottenuto mediante la serie 
G" , 1 G' i ' 1 G i31 . . . G v_ll G n , unica e ben determinata, opposta alla serie di origine. 
Questo procedimento è reso più rapido dall'uso di speciali serie di gruppi de- 
finite nel seguente modo: Ogni gruppo cremoniano geometrico G B ==rr, . . . r, , nel 
quale sia stalo fissato ad arbitrio un termine r > 0 , determina una serie , che io 
chiamo uniforme di indice e=n — r, costituita da gruppi geometrici del seguente tipo: 
GU* = »" + *e , 2ft/e ,r,...r € 7 ) per fc= 1,2,2,.., 
La serie di indice 1 è quella di De Jonquières costituita dai gruppi isologici 
G n = l/n-l 2(n - 1)/1 ; 
quelle di indice 2 ottenute da Cremona sono costituite dai gruppi 
G n = l/n — 2 n — 2/2 3/1 
di ordine pari o dispari 8 ). 
A queste si associano le due serie costituite l'una dai gruppi 
G.-s/£ lji=Ì n-211 
di ordine pari, l'altra dai gruppi 
di ordine dispari. E si ha il notevole teorema che : 
In un gruppo geometrico l'ordine n è sempre superiore al numero p dei termini, 
esclusi soltanto : 
i gruppi isologici, nei quali è p — n = n — 1 ; 
i gruppi delle due serie di indice 2 e delle loro associate, nei quali è p — n = 2 ; 
un numero limitato di gruppi — che io costruisco — nei quali è p — n = l 
o p = n . 
Di conseguenza : un gruppo geometrico di ordine n con p termini è necessaria- 
mente isologico se la differenza p — né maggiore di 2 , o appartiene necessariamente 
ad una serie di indice 2 o alla serie associata se la differenza p — n é uguale a 2. 
7 ) Con la scrittura fc/e si indica il sistema di k termini del gruppo eguali ad e. Se nel gruppo 
vi sono in tutto k termini eguali ad e, si dirà che H un coefficiente del gruppo. 
*) Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. (Giornale di Matematiche, voi. 3°, 1865, 
pag. 364). 
