— 4 — 
In quasi tulle le questioni da me prese in esame riguardanti il numero dei 
termini di un gruppo geometrico in rapporto all'ordine, oltre ai gruppi isologici si 
presentano come gruppi limiti i gruppi simmetrici, i gruppi cioè costituiti ciascuno 
da numeri eguali. 
Questi gruppi sono quattro, rispettivamente degli ordini 2, 5, 8, 17. 
Una proprietà caratteristica comune ai gruppi isologici ed ai simmetrici si è 
che essi sono i soli gruppi nei quali la somma dei primi tre termini è superiore al- 
l'ordine di una sola unità. 
Oltre alla precedente proposizione che in certa guisa completa il teorema di 
N o e l h e r - R osa n es , ho dato un'altra estensione allo stesso teorema dimostrando 
che: in ogni gruppo cremoniano geometrico la somma del primo, del secondo e del 
quarto termine è superiore all'ordine. 
Infine ho stabilito nuove proprietà dei gruppi asimmetrici, dei gruppi cioè a 
temimi a due a due diseguali, la cui esistenza sembrò impossibile a Clebsch °). 
Ora io ho costruito infiniti di siffatti gruppi ed ho determinalo quello di ordine 
minimo già ottenuto nelle precedenti mie ricerche sulle reti omaloidiche. 
Tulli i risultali a cui sono giunto nella presente Memoria, hanno un significato 
geometrico ben chiaro. 
L;i quistione, che fra le altre è qui risoluta di costruire i vari tipi di reti oma- 
loidiche di un dalo ordine, ebbe una prima soluzione nella precedente mia Nola su 
le reti omaloidiche. 
In certa guisa le due soluzioni si completano fondandosi rispettivamente sulla 
riduzione di una rete omaloidica ad una rete di rette o con successive trasforma- 
zioni isologiche di cui ciascuna produce il maggiore abbassamento nell'indice della 
rete 10 ), o con successive trasformazioni quadratiche di cui ciascuna produce il mag- 
giore abbassamento Dell' ordine della rete. 
Non manca qualche altro tentativo di risolvere la predetta questione, tentativo 
riuscito o del tutlo vano, o incompleto, perché fondato sull'uso di trasformazioni non 
9 ) Clebsch, Zur Theorie der Cremona 1 schen Transformationen. (Mathematische Annalen, voi. 4°, 
pag. 493): « Bisher ist kein Beispiel bekannt. in welchem nicht gleiche r und gleiche s vorkiimen, 
c sodass es scheint, als ob Losungen rnit nur verschiedenen r und a nnmoglich sind ». 
La dimostrazione data da Clebsch del teorema di Cremona sull'eguaglianza dei coelbcienti 
dei gruppi relativi a due reti omaloidiche collegate ad una medesima trasformazione, si fonda sul 
modo simmetrico con cui in ciascuna rete i punti base di eguale multiplicità debbono comportarsi 
rispetto alle linee eccezionali di eguale ordine e viceversa. 
Perciò può nascere il dubbio che la predetta dimostrazione presupponga che la rete non sia 
asinini etri ba. 
Nella prossima Memoria Sulla scomposizione normale delle trasformazioni birazionali piane darò 
una nuova dimostrazione assai semplice del teorema di Cremona. 
10 ) L r indice di una rete omaloidica R n = 0, r i . . . O p r ji o del corrispondente gruppo cremoniano 
G.Sr,... r è la differenza n — r i fra l'ordine ed il maggiore termine del gruppo. 
Ora io dimostrai che: una rete omaloidica di indice i, che abbia i punti base in posizione (/enerica, 
, sempre trasformarli in una rete di rette mediante successive trasformazioni isologiche ben determinate, 
in numero non superiore ad i (Not. cit. su le reti omaloidiche, pag. 45). 
