cioè sarà 
3) 
ove il caso dell'eguaglianza si avrà soltanto per i gruppi simmetrici. 
Si è già visto che per n = 2 è p = 3. Ora dalla 3) si deduce che: 
Si; n > 2 è p>3, 
» n > 5 o se n — 5 senza che il gruppo sia simmetrico, » p >» 6 , 
» /« >> 8 » n = 8 » » » » » » p > 7 , 
» h >* 17 » » = 17 » » » » » » p >» 8 l5 ). 
E si conclude che : Ogni gruppo cremoniano simmetrico ha un numero di termini 
inferiore a quello di qualsiasi gruppo cremoniano di eguale o maggiore ordine. 
Il teorema del § 3 e quello dato dalla relazione 2) possono riunirsi nella se- 
guente proposizione : 
Il numero dei termini di un gruppo cremoniano di ordine n è compreso fra i 
limiti 2n — 1 ,9 ° , e raggiunge rispettivamente questi valori soltanto nel caso che 
il gruppo sia isologico o simmetrico. 
A questa proposizione sono da aggiungere le seguenti : 
Il maggior termine di un gruppo cremoniano G» = r, . . . r è compreso fra i limiti 
ii — 1 , —4— 6 raggiunge rispettivamente questi valori soltanto nel caso che il gruppo 
sia isologico o simmetrico. 
Infatti per la seconda parte del teorema basta notare che dall'essere r,^r a ^ .-..>r , 
segue che 
r l (r ì + r t + . . . + r p ) > r* + r, 2 + • • • + r* , 
cioè 
3{n— l)r 1 >» , — l , 
ossia 
Il caso dell'eguaglianza si ha soltanto se r, = r s = . . . = f , se cioè il gruppo 
è simmetrico, e però ne segue il teorema. 
//« utt gruppo cremoniano esistono al più 8 termini fra loro eguali che hanno 
maggior valore dei rimanenti ìl ). 
io ) Cfr. Kantor, Mem. cit. , pag. 12. La dimostrazione di Kantor si l'onda sulla proprietà 
non sufficientemente chiarita che per determinare una curva piana di ordine 3,4,5 occorrono 
rispettivamente almeno 7,8,9 punti. 
") Cl'r. Noether, Zur Theorie der eindeutigen Ebenen traslbrmationen. ( Mathematische 
Annalen, voi. 6°, pag. 636). 
Vegg. pure: Salmon, Analytische Geometrie der hòheren ebenen Kurven. (Leipzig, 1882, 
pag. 396). 
17 ) Vegg. Memoria Su le reti omaloidiche § 1, 4°. Tenendo conto della delinizione data di coeffi- 
ciente di un gruppo cremoniano, si può anche dire che: Il primo coefficiente di un gruppo cremoniano 
non è superiore ad 8. Questa proposizione fu dimostrata da Rui'fini soltanto per i gruppi seniisim- 
metrici, per i gruppi cioè del tipo: G n = ajr , a'jr Mem. cit., pag. 461. 
Atti — Voi. XV— Serie 2 a — N. 7. 
