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Infatti si supponga che nel gruppo G n = i\ . . . r p sia r t =r,= ...=:r p 
Allora innanzi tutto sarà 
3(n — 1)>|«\ • 
E siccome 
sarà anche 
ossia 
3(»-I)>|i^, 
, m — 1 
fi <9 
e ne segue il teorema. 
Inoltre è 
= n . -f 1 ' 
9+|i 
n > 
: 9 — n 
Il caso dell'eguaglianza si ha soltanto se p = |A, se cioè il gruppo è simmetrico. 
Perciò un gruppo cremoniano che presenti 8 termini fra loro eguali di maggior valore 
dei rimanenti, se non è simmetrico, è di ordine maggiore di 17. 
5. In un gruppo cremoniano la somma dei primi tre termini supera l'ordine n 
del gruppo e risulta eguale ad n + 1 soltanto se il gruppo è isologico o simmetrico. 
Infatti , se il gruppo G n = r, . . . r p (r, > r, > . . . > r p > 0) è isologico, sarà 
r t = n — 1 , r 9 — r M — l; 
se è simmetrico, sarà : 
n -f- 1 
r, — r s == r„ = — — : 
sicché in entrambi i casi sarà 
r x 4- **, + r, = n + 1 . 
Inoltre, qualunque sia il gruppo, si avrà : 
r z + r k +... + r p — Bn — 3 — r t — >* s 
*V + + . . . + r/ - n s — 1 — r t » — r* . 
Moltiplicando ambo i membri della prima eguaglianza per r 3 e notando che 
r,(r t + r 4 + . . . -f r p ) > r 3 a + r t " + . . . + r* , 
si deduce che 
3nr, — 3r„ — ?\r s — > n* — 1 — r, 2 — ?y , 
ovvero che 
r' + r," + 1 — r t r 3 — r t r t — 3r, > n{n — 3r 3 ) , 
e il caso dell'uguaglianza si avrà soltanto se r, = r 4 = 
