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Ora si supponga che sia 
n + 1 ^ + f s 4* r a • 
Sarà anche 
»V + >' 2 2 + 1 — V, — r t r a — 3r, ^ (r, + r 2 + r 3 — 1) (r t + r 2 — 2r, — 1) 1) 
ove il caso dell'eguaglianza si avrà soltanto se 
r 3 = r,±=... = r p 2) 
ed 
r i + r * + /- 3 = w + 1 • 3) 
Fatti i calcoli, la 1) si riduce a 
2(r s J -r 1 r 2 + r 1 + r. 2 -2r 3 )>0 , 
cioè 
(>■, — D s — (>\ -!)(>% — 1)>0 . 
Ora il caso della diseguaglianza è assurdo, perchè 
r s — 1 < r 2 — 1 < r t — 1 ; 
mentre il caso della eguaglianza può aversi soltanto o se r l = t\ = r 3 , se cioè, 
per !a 2), il gruppo è simmetrico, o se r, = r, = 1, nel qual caso, per la 3), è 
r t =n — 1, cioè il gruppo è isologico. In ogni altro caso è assurda l'ipotesi che sia 
n -f 1 ì± r i + r, + »" 3 e però ne segue il teorema 18 ). 
6. Dato un gruppo di numeri |n r, . . . r | se a quattro suoi termini n , r h , r^ , r, si 
aggiunge la differenza e = q — (i\ + '' fe + 0 e s * lasciano immutati gli altri numeri, 
il nuovo gruppo |n'r',. . . r' p \ che ottienesi, è ligato al precedente dalle relazioni: 
3n — %r = 3n' — 2 r ' - n * — 2»' a = »*'*— 2'' 2 • 1) 
Infatti dalle relazioni 
e = »' — w = r\ — r h = r' K — r h = r\ — r x , r\ = r i (per i^z/t,k, l) 
si deduce che 
Jr' — 2r = 3e = 3(n' — w) , 
J r 2 — J = 2e( r h + > - fe + r,) + 3e* = 2e (w — e) + 3e 2 = e (2n + e) = (ri — n) (n + ri) = ri* — n' 2 
e ne segue il teorema. 
18 ) Per la prima parte del teorema cl'r. Olebsch, Lecons sur la Gréométrie. Paris, 1880, tom. 2", 
pag. 206. 
