essendo 
— 13 - 
6 = w — (r k +r h + rj 
Perciò se si assumono nel piano della c n un gruppo di punii 0, , ... 0 che com- 
prenda la lerna O k O k O, e nel piano della C n( il gruppo dei punii 0\ , . . . 0 omologhi 
o coordinali ai punti 0, , . . . O r , designando con r it r\ gli ordini di mulliplicilà per 
le linee c , e dei punii 0,. , 0'. , per i = 1 , 2 . . . p, i due gruppi di numeri \n r, . . . r | , 
n'f t ...r' p \ che ne risultano, si trovano nelle condizioni indicale nel primo teorema 
del § precedente. 
Ora se esiste una rete omaloidica R costituita da curve c n = 0% l . . . 0/* , esi- 
sterà del pari una relè omaloidica R, omologa della precedente nella 0, costituita 
da curve c n , == O,'' 1 . . . OV* . 
1 gruppi caratteristici delle due reti sono i gruppi \n r, . . . r p \ , \ri r\ . . . r' | , 
che si deducono l'uno dall'altro con lo scambio delle quaterne n r K r h r l ,n' ?",,,r' fe ,r' ( , , 
epperò : 
Ogni gruppo cremoniano deducibile da un gruppo cremoniano geometrico è anche 
esso geometrico. 
Ne segue che: Due gruppi cremoniani deducibili l'uno dall'altro sono della me- 
desima natura : o entrambi geometrici o entrambi aritmetici. 
8. Dalo un gruppo cremoniano Gst,...^ di ordine m>1, nel quale sia 
r i + r s -^n, il gruppo G' di ordine minimo che può dedursi da G, è quello dovuto 
alla terna dei maggiori numeri r t ,r 91 r 2 di G. Questo gruppo G' si dirà gruppo di 
origine di G. 
Indicando con e la differenza (r l + r s -f- r 3 ) — n , l'ordine n di G' è n — e. 
Ora se si pone s 3 = r t + r t ,s i = r i + r t ,s i = r i -{-r t , e e=- .E 
TI 
siccome per ipotesi è s a <n, è anche s s ^n , s,^n , epperò è e< — , ove il caso 
dell'eguaglianza si ha soltanto, per n pari, se r l = r i = r 3 = — . 
Inoltre pel teorema dei § 5 è e 1 , ove il caso dell'eguaglianza si ha soltanto 
se il gruppo G è isologico o simmetrico. 
Dunque: 
Un gruppo cremoniano G di ordine u> l, nel quale la somma dei primi due termini 
non superi il numero n, ammette un gruppo di origine G' ben determinalo. 
L'ordine n di questo gruppo è sempre minore dell'ordine n del gruppo G da cui si 
parte, e risulla uguale ad n — 1 soltanto nel caso che il gruppo G sia isologico o sim- 
metrico. 
Se i primi tre termini del gruppo G sono eguali ad — (per n pari), l'ordine ti del 
Yh ¥i 
gruppo G' è — . In ogni altro caso è n'> — . 
9. Un gruppo cremoniano non ha gruppo di origine soltanto nel caso che il 
suo ordine sia minore della somma dei primi due termini. 
In tale caso il gruppo è semplicemente aritmetico. 
