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Ora, avendo un gruppo cremoniauo G^ = r, r, , se n>r t + r t , se ne 
assuma il gruppo d'origine G l *~" = r\ . . . r' p > . 
Tale gruppo sarà di ordine «,<». E se anch'esso soddisfa alla condizione che 
«^r'. + r',, ammetterà a sua volta un gruppo di origine G'* - " di ordine n t <n t . 
Cosi proseguendo, si otterrà una serie di gruppi 
Q(a;l Ql;r— 1) Q' r— 
rispettivamente degli ordini 
n , n i < n , n 2 < n t , ... 
Questa serie — ben determinala col gruppo dato — sarà detta serie di origine 
o serie originaria di tale gruppo. 
Ora due casi potranno darsi: o questa serie si arresta ad un gruppo G l *~ <) ==r 1 (<) r s lil ... 
d'ordine w. > 2 0 ^0), pel fallo che questo gruppo G ,x_!l non ammetta gruppo di 
origine, o la serie termina col gruppo G 1 * - *' d'ordine n { =l, nel qual caso il pe- 
nultimo gruppo della serie è necessariamente il gruppo G, che è l'unico da cui può 
dedursi il gruppo G, (§ 6). 
In entrambi i casi i gruppi G'* -1 '', G 1 * - ** 11 , . . . , G n , sono tali che ciascuno di 
essi, a partire dal secondo, è deducibile dal precedente, sicché risultano della me- 
desima natura di G )x_< (§ 7), cioè sono semplicemente aritmetici nel primo caso, 
e geometrici nel secondo. Ciò accade, in particolare, pel gruppo dalo G'* 1 ; epperò: 
La condizione necessaria e sufficiente affinchè un gruppo cremoniano sia geometrico, 
si è che la sua serie di origine termini con i gruppi di 2° e 1° ordine ; o, come diremo 
brevemente, si è che tale serie sia completa. 
10. Applicando il criterio ora stabilito è agevole riconoscere che: 
a) 1 gruppi cremoniani simmetrici G s = 3/1 , G 5 = 6/2 , G 8 = 7/3 , G 17 = 8/6 
sono geometrici. 
Le loro serie di origine sono rispettivamente le seguenti : 
1° G a =3/1,G,. 
2.° G 5 =6/2 , G=3 2 3/1 , G -3/1 , G, . 
3 ° G 8 =7/3 , G 7 =4/3 3/2 , G 5 =l/3 3/2 3/1 , G 3 =l/2 4/1 , G,=3/l , G, . 
4° G, =8/6 , G, =5/6 3/5 , G u = 2/6 3/5 3/4 , G„ = 2/5 3/4 2/3 1/2, 
G g ==2/4 2/3 3/2 l/l,G 5 =l/3 3/2 3/1 , G 3 = l/2 4/1 , G, = 3/l , G, . 
Le ultime tre serie dovute a gruppi di ordine 5, 8, 17 comprendono rispetti- 
vamente 4, 6, 8 gruppi. 
b) Ogni gruppo isologico G n è geometrico. 
La sua serie d'origine è costituita dai gruppi isologici degli ordini n — 1, 
n — 2,..., 2 e dal gruppo di 1° ordine, cioè in tutto comprende n gruppi. 
Questa proprietà è caratteristica per i gruppi isologici; vale a dire che: 
Un gruppo cremoniano geometrico G, non isologico, di ordine n, ha la serie 
originaria costituita da gruppi in numero inferiore ad n. 
Se il gruppo G è simmetrico, si è visto che il teorema si verifica. 
