— 17 — 
i tre numeri 
P* = » — r»— r, , p,=n — r ir -^ , p 3 = n — r A — r fc 
siano maggiori od uguali ad r. , e siccome è 
Pi ^ P S ^ P 3 . 
perciò la condizione richiesta si è che p 3 non sia minore di i\ , ossia che 
n — >\ ~>r h -{- r h . 
In particolare le terne di derivazione r h r k r t formate da numeri minori di r, sod- 
disfano all'unica condizione che 
n— r t >r fc -f . 2) 
Perciò, se la differenza n — r t viene chiamata indice del gruppo G n , si ha che : 
In un dato gruppo geometrico G n = i\ . . . r/^r +s r +3 tre numeri minori di r t co- 
stituiscono una tema di derivazione, se i due maggiori fra di essi danno somma mi- 
nore deW indice del gruppo. 
Restano ora a determinarsi le terne di derivazione r h r h r l nelle quali è r k = r i . 
In una di queste terne non può essere r fc = r 9 ed r l = r 3J perchè non è pos- 
sibile che di due gruppi G n ,I\ ciascuno sia origine dell'altro, non potendo ciascuno 
dei numeri n , v essere maggiore dell'altro. 
Nè è possibile che sia r fe = r s ed r z <r,. Perchè se così fosse, il maggior ter- 
mine del gruppo G„ diverso da r h , i\ , r l risulterebbe r 3 , e dovrebbe aversi 
n — r, > ì\ -f r % , 
il che è assurdo. 
Perciò in una terna di derivazione r h r h r t nella quale r h = r t , è r k < r 2 , e la 
condizione 2) per tale terna si riduce alla 
n — r^ r x + r k , 
ossia alla 
n — r t — r t > r h . 3) 
Ora questa è la condizione affinchè in G n la i\r h r l sia una terna di derivazione, 
epperò nel gruppo G n le terne di derivazione che contengono r t , si ottengono da quelle 
già ottenute che comprendono r, , sostituendo in queste r, ad r, . 
In conclusione: In un dato gruppo geometrico G n = r, . . . r p r^,r +2 r )+3 le terne di 
derivazione formate da numeri minori di \\ si ottengono assumendo tutte le coppie di 
termini v h , r fe minori di r, , la cui somma non superi l' indice del gruppo, ed aggre- 
gando a ciascuna coppia ogni termine r, pel quale sia r h > r k > r t . Le terne di deri- 
vazione che contengono r, , si ottengono da quelle già costruite che contengono r, , 
sostituendo in queste r, ad r, . 
È bene inteso che questa sostituzione dà origine a nuove terne soltanto se r t 
è diverso da r 4 . 
Atti— Voi. XV-Serie 2° — N. 7. 3 
