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L'indice i del gruppo è 8, ed è i = ì\-\- r p . Perciò esistono terne di deriva- 
zione speciali che comprendono t\ o i\. Esse sono le 
630 , 530 . 
Fra i termini r, , . . . , r del gruppo soltanto l'ultimo è minore di r, , epperò 
non esistono altre terne di derivazione speciali oltre quelle trovate. 
14. Dalle proprietà già stabilite sulle discendenze di un dato gruppo cremoniano 
si deducono ulteriormente le seguenti proposizioni: 
In un gruppo cremoniano geometrico T v = p l p ì p ì p i . . . p„ la somma del primo, del 
terzo e del quarto termine è maggiore dell'ordine del gruppo. 
Infatti il gruppo di origine G„ di I\ comprende i numeri p, pei quali 
è P 4 ^ P 5 ^ • • • ^ P„ » L> d ' numeri 
r h = v — Pi — P 3 > ì \ = v — p. ì — p i , r,= v- p,— p, , 
pei quali è 
Ora se fosse 
v^p t + P 3 + p 4 , lj 
sarebbe 
»\ ^ P* . 
cioè nel gruppo G n la terna di derivazione r ft r fc r, relativa al gruppo r comprende- 
rebbe i due maggiori termini r h , r ft del gruppo, il che è assurdo. 
Perciò è assurda la 1) e ne segue il teorema. 
Il maggior termine r, del gruppo G M o è p t o è r h = v — p s — p 3 • Perciò p, ^ r, , 
e propriamente il caso dell'eguaglianza si ha soltanto se p,= p t = p 3 = p 4 , nel 
qual caso è 
n = 2v — 3p l , * = 2v — 4p, ; r, = r ft = r, = v — 2p, = -|- . 
E viceversa. Dunque: 
// maggior termine di un gruppo geometrico r non è inferiore al maggior ter- 
mine del gruppo dì origine G. Il caso dell'eguaglianza si ha soltanto se la terna di 
derivazione del gruppo r è formala da numeri, eguali alla metà dell'indice del gruppo G. 
Ouesta proposizione è completata dall'altra che: 
L'indice di un gruppo geometrico r non è inferiore all'indice del gruppo di 
origine G. // caso dell'eguaglianza si ha soltanto se la terna di derivazione del gruppo T 
comprende il maggior termine del gruppo G. 
Infatti nel gruppo l\ è v = n — e e p, = »' A — e, epperò l'indice i del gruppo 
è n-r h . 
L'indice i di G n è n — r t , epperò 
t — i = r t — r h , 
e ne segue il teorema. 
Ed è notevole il fatto che: Fra i gruppi discendenti da un gruppo dato G n quello 
dovuto alla terna 000 è il gruppo in cui l'ordine, il numero dei termini, i indice ed 
il primo termine hanno il maggior valore. 
