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Ulleriormenle si ha che: In un gruppo geometrico r l'endice è minore, eguale o 
maggiore della metà dell'ordine, secondochè la terna di derivazione del gruppo ha il 
primo termine maggiore, eguale o minore della somma degli altri due. 
Infatti pel gruppo I\ si ha 
r„ — (r k + r,) = v — p, — p, — (v — p s — p t + v — p t — p s ) = 2p, — v , 
epperò secondochè la differenza r k — (r h J r r l ) è maggiore, eguale o minore di 0 , p, 
è maggiore, eguale o minore di — , e corrispondentemente l'indice t = v — p, è 
minore, eguale o maggiore di . 
Nel primo caso p, è maggiore di p, , nel secondo caso i termini del gruppo 
eguali a p, possono essere al più p 2 , p 3 (§ 12); nel terzo caso possono essere eguali 
a p, al più i termini p s , . . . , p 8 (§ 4). 
15. Se i termini r t , . . . , r di un gruppo geometrico G n formano x sottogruppi 
dei quali ciascuno comprenda tulli i termini aventi un medesimo valore, le terne 
di derivazione ordinarie che si presentano in G n , sono x + 1 ; nè esisteranno terne 
di derivazione speciali se è n < r, -f- r p _ t + r ( , sicché in tale caso vi saranno in 
tutto x + 1 gruppi r discendenti da G„ . 
Questo fatto si verifica se è r, — r 3 = . . ,z=zr p , giacché allora è 
In particolare pei gruppi simmetrici e pei gruppi isologici ( pei quali è 
r,=r s =,.. = r j) ) si ha che: 
1° Un gruppo simmetrico G n =p/r ammette soltanto due gruppi discendenti dovuti 
alle terne di derivazione 1 00 , 000. Essi sono i gruppi 
2° Un gruppo isologico di ordine n > 2 presenta soltanto tre gruppi discendenti 
dovuti alle terne di derivazione n — 1 00 , 100 , 000. Essi sono il gruppo isologico di 
ordine n + 1 ed i gruppi 
G 1M = l/n S/n-1 2/; -3/1 , G tn = S/n l/n — l 2(w-l)/l . 
Questi ultimi due gruppi hanno rispettivamente l'uno 2/j -f 1 e l'altro 2n + 2 
termini (§ 13), sicché in ciascuno il numero dei termini supera di 2 unità l'ordine. 
Se si pone m = 2n — 1 pel primo e m = 2n pel secondo, i simboli dei due 
gruppi risultano essere 
n — (r, + r^j + r p ) = n — (r, + r a + r,) < 0 . 
G 2n _ r = l/?i 2/n-r p-l/r 
G ìn ^3/n p/r 
1 
3 
m - 2 1 
(m dispari > 3) 
/ 2 
7 2 
1/ 
m - 2 1 
(m pari > 2). 
19 ) I valori dei numeri n,i>,r sono stati indicati nel § 2. 
Per n == 2 , si hannno i due gruppi 
G 3 = 1/2 4/1 , tì., = 3/2 3/1 . 
