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che il gruppo G n sia isologico (per n > 2), o sia il gruppo G n >l//i— 2 n— 2/2 3/1 
(per n > 4). 
lutine se il gruppo G n è di modulo ix = 3 , sarà r 1 =r s =r 3 = -- , ed e=— =»', 
epperò sarà e > fi, se si esclude che ».' sia 1, 2, 3, se si esclude cioè che il gruppo 
G„ sia uno dei tre gruppi G 2 =3/l , G 4 =3/2 3/1 , G 6 =3 3 1/2 4/1 di modulo 3, 
che hanno per origine i gruppi di 1°, 2° e 3° ordine. 
Essendo 
e — \x = (n — p) — (n' — p') 
sarà n — p>n'—p', se è e>n, e viceversa. Perciò dal confronto ora fatto risulta che: 
In un gruppo cremoniono geometrico la differenza fra l'ordine ed il numero dei 
termini è maggiore della differenza analoga che si ha pel gruppo di origine, esclusi 
soltanto i gruppi isologici , i gruppi G n = 1/n — 2 n — 2/2 3/1 ed il gruppo 
G 6 = 3/3 1/2 4/1. 
17. Due o più gruppi geometrici pensali in un determinato ordine si dirà che 
costituiscono una serie discendente, se ciascuno di essi, a partire dal secondo, ha 
per origine il precedente. La serie si dirà completa se ha principio con i gruppi 
G, , G, . 
Per ogni gruppo G^. resta determinala una serie completa che comprende G a e 
si arresta a tale gruppo. Essa è costituita dai gruppi che formano la serie di ori- 
gine di G x presi in ordine inverso. 
I gruppi comuni a due serie discendenti complete costituiscono a loro volta una 
serie discendente completa. Se questa termina col gruppo G x , e ciascuna delle serie 
date presenta almeno un altro gruppo susseguente a G^, , si dirà che una delle serie 
date si stacca dall'altra nel gruppo G^ . 
Fra le serie complete hanno speciale importanza la serie isologica costituita dal 
gruppo G, e dai gruppi isologici di ordine 2, 3, 4,..., e le serie 2^2', formate 
l'una dal gruppo G, e dai gruppi G n =l/?i— -2 « — 2/2 3/1 degli ordini 2, 4, 6, ... , 
l'altra dai gruppi G, ,G, e dai gruppi G n =l/rc — 2 n — 2/2 3/1 degli ordini 3, 5, 7,... 
Quesle serie possono dirsi di indice 2 al pari dei gruppi che le costituiscono, 
a partire da quello di 6° (o di 5°) ordine. 
Ora si assuma ad arbitrio una serie discendente completa che non coincida 
con alcuna delle tre precedenti, e dei tre gruppi in cui tale serie 2 si distacca dalle 
2 i> 2 i' 2 s . s ' consideri quello che sussegue agli altri due. 
Se tale gruppo G' 01 appartiene alla 2, , il gruppo G n che gli sussegue nella 2, 
per n pari sarà del tipo G„=3/^ l/~Ì~ (§15,2°), uè apparterrà alla 2,, 
cioè sarà rc>4; per n dispari sarà del tipo G B =l/ W * dj n n— 2/1, uè ap- 
parterrà alla 2' t , cioè sarà n > 5. 
In entrambi i casi [tei gruppo G n è 
S = n—'p= — 2. 1) 
Inoltre per tutti i gruppi G ,!, ,G 11 ', . . . G ' , . . . della 2 che susseguono a G„ , vale 
