CAPITOLO PRIMO 
§ 1 
I complessi r,r,K. 
1. Fissato nello spazio un sistema lineare 2 triplamente infinito di quadriche 
affatto arbitrario, e data un'omografìa Ci fra i piani dello spazio e le quadriche 
del sistema, resta determinato un complesso di coniche r costituito dalle intersezioni 
degli elementi omologhi nella omografìa fi. 
Le coniche del complesso sono una ad una nei singoli piani dello spazio, e quelle 
che si trovano nei piani di un fascio arbitrario (r) costituiscono una superficie di 
3 ordine <p 3 = r generata dal fascio (r) e dal suo omologo nella fi. 
Si dirà che la è la superficie del complesso r dovuta alla retta r. 
La fi sarà delta omografia generatrice del complesso e si supporrà del tutto ar- 
bitraria. 
Se in essa ad una stella (0) e ad un fascio (r) di piani corrispondono rispet- 
tivamente nel sistema 2 una rete avente per base i punti O t , . . . 0 8 ed un fascio 
avente per base la curva r t , si dirà anche che nella fi al punto 0 corrispondono 
i punti Oj , . . . O g ed alla retta r la curva r 4 del sistema 2. 
Con ciò ad ogni punto O i corrisponde nella inversa della Ci un punto ben de- 
terminalo 0, centro della stella di piani omologa alla rete del sistema 2 formala 
dalle quadriche che passano pel punlo 0 ; . 
Se il punto 0 descrive una retta od un piano ir, il corrispondente gruppo 
di punti O t , . . . O g descrive la curva r t o la superfìcie rc 2 di 2 che nella Ci corri- 
spondono ad r , ir. E viceversa. 
Fissato nello spazio un punto generico 0, se a questo nella fi -1 corrisponde 
il punlo 0_ t , la retta o = 0_ t O ha per corrispondente nella Ci una linea o 4 del si- 
stema 2 che passa per 0, sicché le coniche del complesso situate nei singoli piani 
del fascio (o) contengono tulle il punto 0. 
Viceversa se una conica del complesso r passa per 0, la quadrica ^ a cui 
è dovuta, appartiene alla rete del sistema 2 che ha uno dei punti base in 0, onde 
il piano n della c 2 , omologo della tt 2 nella fi -1 , passa pel punto 0_, già indicato 
epperò contiene la retta o==00_,. Perciò: 
Le coniche del complesso V che passano per un punto generico 0 dello spazio, 
sono nei piani di un fascio (o). 
La superficie ? 3 = o luogo di tali coniche si dirà che è la superficie del com- 
plesso dovuta al punlo 0. Essa ha in 0 un punlo doppio. 
Dalle cose delte segue che il complesso r è bilineare, nel senso che i due nu- 
meri caratteristici del complesso: numero delle coniche che sono in un piano ge- 
nerico dello spazio, classe del cono inviluppo dei piani delle coniche del complesso 
che passano per un punto generico dello spazio, sono entrambi eguali ad 1. 
La retta o comune ai piani delle coniche del complesso che passano per un 
