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Ad ogni punto P della o 7 è coordinato il raggio p = OP del complesso K. Vi- 
ceversa se p è un raggio del complesso K uscente dal punto 0 ed è P il punto 
coordinalo a tale raggio, per questo punto passano oo 1 coniche della congruenza 
formala dalle coniche del complesso r situale nei piani della stella (0), perciò il 
punto P appartiene alla linea direttrice della congruenza. 
Dunque il cono del complesso K che ha per vertice un punto generico 0 dello 
spazio, è coordinato alla curva direttrice o 7 della congruenza bilineare formata dalle 
t oniche del complesso V situate nei piani uscenti dal punto 0. 
Questo cono si ottiene perciò proiettando la o 7 dal punto 0, epperò risulta 
di 6° ordine. Dunque il complesso K è di 6° grado. 
Ogni punto 0 determina nel modo indicato una curva o 7 tale che un qualunque 
piano che passi pel punto 0 sega la curva oltre che in 0, in 6 punii della conica 
del complesso r situala in quel piano. 
Si dirà che la o 7 è dovuta al punto 0, polo della curva. 
Ogni punto P della o 7 è proiettalo dal polo 0 secondo il raggio coordinato al punto 
P. Perciò la tangente in 0 alla o. è il raggio del complesso K coordinato al punto 0. 
Variando il punto 0 nello spazio, la curva o. descrive un complesso r'. 
Le relazioni che intercedono fra il complesso K ed i complessi r , r', sono 
espresse dalle proposizioni già stabilite che: 
all' inviluppo dei raggi del complesso K si- al cono di raggi del complesso K che ha 
tuati in un piano arbitrario u>, si coordina per vertice un punto arbitrario 0, si coor- 
la conica c, del complesso r che è nel dina la linea o 7 del complesso r che ha 
piano co. per polo il punto 0. 
Da queste proposizioni si deducono le altre che : La superficie coordinata alla 
congruenza dei raggi del complesso K appoggiali ad una retta generica r dello spazio 
è il luogo delle coniche c s del complesso V è il luogo delle curve o. del complesso 
situate nei piani del fascio (r). r' che hanno per poli i punti della r. 
Essa per la proposizione a sinistra è la superfìcie <p 3 dovuta alla r, sicché a 
tale superficie compete anche la definizione espressa dalla proposizione a destra. 
Se la retta r coincide con un raggio o del complesso K coordinato al punto 0, 
la corrispondente superfìcie <p 3 = 0" risulta essere il luogo delle linee dell'uno o 
dell'allro complesso uscenti dal punto 0. 
Ne segue che due punti 0 , 0' situali su di una medesima conica del complesso 
r sono del pari su di una medesima curva del complesso r, e viceversa. 
Ciò in sostanza dipende dal fallo che due punti situati su una medesima linea 
di uno qualunque dei complessi r , r' sono coordinati a due raggi incidenti del com- 
plesso K, e viceversa. 
E si può senz'altro affermare che: Se una conica c 2 del complesso T ed una 
curva o 7 del complesso V hanno più di un punto in comune, il piano co della prima 
l/nea passa per il polo 0 della seconda, sicché le due linee si segano in tutto in 6 punti. 
ammette una curva base di ordine n. s -\- n 2 s -\- n^tg . (Cfr. Cremona, Mémoire de geometrie pure 
■tur les surfaces du troùième ordre. Giornale di Creile, tom. G8, 1868, n.° 22). 
La congruenza lineare costituita dalle curve sezioni delle superficie omologhe delle reti date 
coincide con la congruenza formata dalle linee basi variabili dei fasci della terza rete. 
La congruenza ha per linea direttrice la curva di ordine n 4 ' 2 -\- -\- n,n 4 innanzi detta. 
