CAPITOLO SECONDO 
§ iv 
La superficie fondamentale dei complessi r , r' , K. 
5. La superficie a inviluppata dai piani sostegni delle coniche degeneri del 
complesso r, sarà detta superficie fondamentale del complesso. 
I piani tangenti alla a che passano per una retta r dello spazio, sono i piani 
del fascio (r) tritangenti alla superficie 9 8 del complesso r dovuta alla retta r, se 
questa non appartiene al complesso K, 0 sono i piani che la r determina con le 
altre 5 rette della superficie 9 3 = 0 2 che escono dal punto 0 coordinato alla r, se 
questa è un raggio del complesso K. In entrambi i casi il numero dei piani in qui- 
stione è 5: epperò: 
La superficie fondamentale a è di classe 5. 
II cono circoscritto alla a , che ha per vertice un punto generico 0 dello spazio, 
è il cono x 5 indicato nel n.° 3. 
Questo cono inviluppo non presenta alcun piano doppio, epperò la superficie a 
può avere soltanto un numero finito di piani tangenti doppi. 
Se il punto 0 coincide con un punto fondamentale \J. , il cono inviluppo /. 
acquista i tre piani doppi tj 3 , t 3 t i , sicché questi piani risultano tangenti alla a 
nel punto XJ., il quale perciò è triplo per la superficie. 
Ciò in sostanza dipende dal fatto che la superficie 9,== IL* del complesso r 
dovuta ad una retta uscente da U t . e situata in una faccia t dell'angolo trispigolo 
contiene la conica xx di tale piano (n.°4); e però dei 5 piani che la r de- 
termina con le altre rette della 9 3 che escono dal punto U i5 due coincidono nel 
piano t, vale a dire che dei 5 piani tangenti alla a che passano per una qualunque 
retta del fascio (U. — t), due coincidono sempre col piano t, epperò questo piano 
è tangente in U. alla a. 
6. I cinque piani tritangenti di una superficie di 3° ordine che passano per 
una retta ordinaria r della superficie, sono fra loro distinti, se la superficie non 
presenta alcun punto doppio fuori della retta r; mentre nel caso che un siffatto 
punto D esista, due 0 tre dei cinque piani indicati coincidono nel piano 5 = /D, 
secondochè il punto doppio D è conico 0 biplanare *). 
*) Rappresentando la superficie su di un piano in modo che le immagini delle sezioni piane 
siano curve c, = P 1 ...P 6 e l'immagine della retta r siala Cj^P^, le cinque coppie di rette ce 
della superficie situate in piani del t'ascio (r) sono rappresentate rispettivamente dalle coppie di 
lati opposti del quadrangolo completo P 3 P 4 P 3 P 0 , dal punto P t e dalla c 2 = PjP.jP^P.JPg , dal punto 
P 2 e dalla c s = P 2 P 3 P 4 P 3 P 6 . 
Se la superficie presenta un punto doppio conico avente per immagine la c s = P t ...P 6 , le 
ultime due coppie ce coincidono in un'unica rappresentata dai punti P t ,P 4 ; e così se la super- 
ficie presenta un punto doppio biplanare avente per immagine le c, =3 P^jPj , c l = PjPjP,, la 
Atti — Voi. X V— Serie 2" — N. 8. -' 
