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Ciò posto, si assuma ad arbitrio un piano tangente della superficie fonda- 
mentale, e sia il piano co sostegno della conica degenere ce del complesso r. 
Le superflcie <p 3 = cc' del complesso dovute alle singole rette del piano co ri- 
sultano tangenti a questo piano nel punto D = cc', e però nella rete R u costituita 
da siffatte superfìcie esiste un fascio <f> 0 di monoidi aventi il vertice nel punto D. 
La curva o 7 base di questo fascio passa con due rami pel punto D, incontra 
ancora in due punti ciascuna delle rette c , c, e sega ulteriormente il piano co nel 
proprio polo 0. 
Le superficie ? 3 = D 2 del fascio * 0 sono dovute alle singole rette del fascio 
(0 — w); e siccome per ciascuna di queste rette due dei 5 piani trilangenti alla 
corrispondente superficie <p 3 = D\ o, ciò che è lo stesso, due dei 5 piani tangenti alla 
superficie a coincidono in co, cosi il piano co è tangente alle a nel punto 0. 
Viceversa se un punto 0 è polo di una curva o 7 dotata di un punto doppio D, 
le superficie <p 3 = o 7 del complesso r dovute alle rette della stella (0) hanno lo 
stesso piano tangente nel punto D, sicché nella rete costituita da siffatte superficie 
vi è un fascio <t> u di monoidi aventi per vertice il punto D. 
Essi hanno ulteriormente in comune le due rette c , c che escono dal punto D 
e si appoggiano in altri due punti alla o 7 ; sicché queste rette formano la conica 
del complesso r nel piano co della stella (0), sostegno delle rette della stella a cui 
sono dovuti i monoidi in esame. 
E giacché per ciascuna di tali rette due dei 5 piani tritangenti al corrispon- 
dente monoide coincidono nel piano co, perciò il punto 0 è il punto di conlatto 
della superficie a col piano co. 
Dunque: La superficie fondamentale del complesso r è il luogo dei poli delle 
curve del complesso V dolale di punto doppio. 
coppia rappresentata dai punti Pj , P 2 conta per tre fra le cinque coppie ce del caso generale. 
Ciò giustifica quanto si è detto sopra. Cfr. anche Cayley, A Memoir ori cubie surfaces (Philoso- 
pliical Transactions ot' the R. Society of London, voi. CLIX) diagrammi II = li? — C s (pag. 256) e 
III = 12 — B 3 (pag. 263). 
Se la qp 3 presenta due punti doppi distinti rappresentati rispettivamente dalle rette c ì =J? l F s P l , 
Cj^PjP^P,., il piano 8 tangente alla superficie lungo la retta d=D i T> ì conta sempre per due 
fra i piani tritangenti che passano per la retta r ulteriore sezione della superficie col piano. 
Questa retta r è rappresentata dalla c l =J? l P ì , e le tre coppie di rette ce' della superficie che 
sono nei piani tritangenti del fascio (r) diversi da 5, hanno per immagini le c, = P 3 P 5 , c { = P 4 P 6 ; 
c t = P 3 P 6 , e, = P 4 P„ ; il punto P 2 e la c 2 = P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 . Cfr. Cayley, Mem. cit., diagramma 
IV = 12 — 2C t (pag. 269). 
Invece se i punti doppi D , D' della superficie coincidono sulla retta d in unico punto O rap- 
presentato dalla retta Cj^PjPjP,^ nel qual caso i punti P B , P 6 risultano infinitamente prossimi 
ai punti P s , P 4 su rette ben determinate t , t' rispettivamente, il piano 5 tangente alla q>., lungo 
la d conta per tre fra i piani tritangenti che passano per la retta r ulteriore sezione della super- 
ficie col piano. 
Questa retta r è sempre rappresentata dalla c i = P i 1 P t , e le due coppie di rette ce' che sono 
negli altri due piani tritangenti del fascio (r) sono rappresentate rispettivamente dalle t = P,P 6 , 
<' = P t P 6 , dal punto P, e dalla c, = PjPjP^P,,. Cfr. Cayley, Mem. cit., diagramma V=12— B t 
(pag. 275). 
E bene inteso che per ragion di brevità un piano che contenga tre rette r , e , c di una su- 
perficie dì 3" ordine si dirà tritangente anche nel caso che il punto D — ce sia doppio per la su- 
perficie. 
