Perciò questa superficie si dirà fondamentale anche pel complesso r'. 
Inoltre dal ragionamento fallo segue anche che : 
Un punto arbitrario 0 della superfìcie fondamentale ed il piano co tangente nel 
punto 0 alla superfìcie godono la proprietà che la conica ce' del complesso r situata 
nel piano co e la curva o 7 del complesso V che ha il polo nel punto 0, hanno lo 
stesso punto doppio D. 
Le due curve si diranno fra loro associale. 
Se la o 1 è tangente nel punto D alle rette u , u, i monoidi del fascio 4> u che 
nel punto D hanno un punto doppio biplanare e che non contengono la retta 
d = DO, sono quelli che nel punto D risultano tangenti l'uno ai piani cu, cu, l'altro 
ai piani cu , cu. 
Essi sono dovuti alle due rette / , t' del fascio (0 — co) per ciascuna delle quali 
tre piani tangenti alla superficie fondamentale coincidono nel piano co. 
Le rette t , ( coincidono soltanto nel caso che le u , u o le c , d coincidono 
fra di loro. 
7. I raggi del complesso li che giacciono nel piano w = cc', costituiscono due 
inviluppi j ,f coordinati rispettivamente alle rette c , c. Per un punto generico P del 
piano co passano tre raggi di ciascuno dei due inviluppi . e sono quelli che pro- 
iettano le terne dei punti di appoggio delle c,c alla curva o 7 del complesso r' che 
ha il polo nel punto P; perciò i due inviluppi j ,f sono entrambi di 3 a classe. 
Essi hanno rispettivamente per raggi doppi le c , c ed , oltre al raggio d = DO 
coordinato al punto D, hanno in comune nitri 8 raggi che con le c,c formano il 
gruppo dei 10 raggi della congruenza A situali nel piano co 
11 raggio d è doppio tanto per l'inviluppo (jj' 3 ) del complesso K situato in co, 
come pel cono del complesso di vertice 0, che è il cono proiettante da 0 la 
o 7 = D s , e però il punto 0 ed il piano co sono rispettivamente punto e piano tan- 
gente della superficie singolare del complesso K, e la retta d è il raggio singolare 
del complesso K dovuto agli elementi 0 , co. 
Le proprietà inverse sono senz'altro evidenti, sicché può affermarsi che: 
La superficie singolare del complesso K coincide con la superficie fondamentale 
dei complessi r , r'. 
§ v - 
Le coniche del complesso r formate da rette coincidenti. 
8. 1 piani dello spazio che nell'omografia generatrice del complesso r hanno 
per omologhi i coni del sistema 2, inviluppano una superficie di 4 a classe x 4 - 
1 piani tangenti comuni a questa superticie x 4 ed alla superficie fondamentale 
a 5 godono la proprietà che ciascuno di essi contiene il vertice del cono del sistema 2 
che gli corrisponde nella omogralia anzidetta , epperò fra tali piani ve ne sono 
alcuni, in numero finito, che segano i coni omologhi secondo coppie di generatrici 
coincidenti. 
Perciò : // complesso r presenta un numero finito di coniche formate ciascuna da 
rette coincidenti. 
Ora, se in un piano 5 la conica del complesso r è costituita dalla reità d con- 
