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tata due volle, ogni superficie <j>, del complesso dovuta ad una qualunque ietta r 
di 5 risulta tangente al piano 5 lungo la d, e però presenta due punti doppi D, , D, 
sulla d; sicché nel fascio (r) due piani tritangenli alla superficie <p 3 coincidono in 5. 
Facendo variare la retta r nel piano 5, non può accadere che uno qualunque 
dei punti doppi D t , D t della q> 3 resti fisso, non può accadere cioè che la rete R 5 de- 
scritta dalla <? 3 abbia un punto base doppio D sulla d. Perchè, se cosi fosse, due 
punti fondamentali U del complesso r coinciderebbero in D, il che non è. 
Perciò, assunto ad arbitrio un punto D sulla d, si ha che le superficie della 
rete R 5 che hanno in D un punto doppio, costituiscono un fascio ** D , che può 
supporsi abbia per base la conica degenere formata da rette uscenti da D, sicché 
questa conica pensata nel modo ora detto si associa alla curva c 7 = D 2 del com- 
plesso r, ulteriore base del fascio <&* D - 
11 polo 0 di questa curva c ì col variare del punto D sulla d, descrive nel 
piano 8 una conica o t . Ed in vero ogni retta r del piano contiene due punti 0, 
poli delle curve basi o. = D, s , o 7 == D a 3 dei due fasci <*>*,, <I>* 8 che contengono la 
superficie ? 3 = (D^,)' 2 dovuta alla r. 
Se la r è tangente alla conica o 2 , i punti doppi D, , D t della q? 3 coincidono, e 
però nel fascio (r) tre piani trilangenti alla <p 3 coincidono in 8 *). 
Perciò il piano 5 è un piano tangente doppio della superficie fondamentale, e 
la conica o, ne è la linea di contatto. 
Inversamente in un piano tangente doppio 8 della superficie fondamentale la 
conica dd del complesso r è costituita da rette coincidenti. Infatti per ogni retta r 
del piano 5 due piani trilangenti della corrispondente superficie <p 3 del complesso r 
debbono coincidere in 8; e però se le d , d' fossero distinte, la superficie <p 3 avrebbe 
un punlo doppio nel punto D==dd\ sicché la rete R 5 avrebbe un punto base doppio 
in D, e due punti fondamentali U coinciderebbero in D il che non è. Dunque: 
Le coniche del complesso r formate da rette coincidenti sono nei piani tangenti 
doppi della superficie fondamentale. 
Per calcolare il numero di queste coniche occorre determinare l'ordine della 
superficie fondamentale. A ciò valgono i ragionamenti che seguono. 
9. Le curve o 7 del complesso r' che hanno i poli su di una retta arbitraria r 
dello spazio, costituiscono un fascio sulla superficie <p 3 dovuta alla r (n.° 2). 
Ogni curva o 7 forma la base di un fascio di 3° ordine che comprende la <p 3 , 
con ogni conica di questa superficie situata in un piano del fascio (r). 
Perciò la o, si appoggia alla r soltanto nel polo, ha per trisecante ogni retta 
della q> 3 appoggiala alla r e per corda ogni retta della superficie sghemba con la r. 
Ed in una rappresentazione piana della superficie ? 3 , nella quale le sezioni 
[liane abbiano per immagini curve c s = P f ...P a e la retta r sia rappresentala dal 
punto P a , le immagini delle curve o 7 sono linee 
c>(P,-W,..U' l5 , 
di un fascio nel quale i punti base U' sono immagini dei punti fondamentali U. 
*) Veggasi la nota a pag. 10. 
