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In ognuno dei punii P, , . . . P_ le tangenti alle c\ variano da curva a curva, e 
però il numero delle linee del fascio *' che presentano un punto doppio fuori del 
gruppo base, è 
3 . 5' - 5 . 7 = 40 *) . 
Corrispondentemente si ha che sulla retta r esistono 40 punti poli di linee c 7 
dotate di punto doppio. 
Questi sono i punti di sezione della r con la superficie n (n.° 6); e però: 
La superficie fondamentale a è di ordine 40. 
Siccome la a è di classe 5 e presenta soltanto un numero finito di piani tan- 
genti doppi ordinari, perciò il numero di tali piani è 
54 '- 40 =2o. 
Dunque : Nel complesso r esistono 20 coniche costituite ciascuna da due rette 
coincidenti. 
Un cono circoscritto alla superficie fondamentale nel caso più generale è di 
ordine 20. Ne segue che una sezione piana generica della superficie è di ordine 40 
40 . 39 - 20 „ 
e di classe 20, e però presenta — - = 770 punti doppi. 
Questo numero è l'ordine della curva doppia della superficie, della curva cioè 
luogo dei poli delle curve o 7 del complesso r dotate di due punti doppi. 
La curva passa con tre rami per ogni punto triplo della superficie. 
§ VI. 
I punti tripli U i( della superfìcie fondamentale. 
10. Data nello spazio una linea x di ordine n, la quale passi pei punti fonda- 
mentali U t . con r. rami, per r . > 0 ed « = 1 , ... 15, la rigata è del complesso K 
che oltre alle stelle (U t .) è coordinata alla linea x, risulta di grado 3n — Sr.. 
Infatti i raggi della è che si appoggiano ad una retta generica r dello spazio, sono 
quelli coordinati ai punti di sezione, diversi da U, , ...U 15 , della linea x con la super- 
licie ?, del complesso r dovuta alla retta r (n.° 2), onde il loro numero è 3/ì — Sr. 
Il genere della è è eguale a quello della linea x. 
In un piano w che contenga una ge- Un punto 0 di una generatrice ar- 
neratrice arbitraria p della è, la conica c 2 bilraria p della £ è polo di una curva 
del complesso r si appoggia alla x nel o 7 del complesso r, che si appoggia alla 
punto P = pa> coordinato alla p, e vi- linea w nel punto P = pa? coordinalo alla 
ceversa; cioè la superficie £ è l'inviluppo p, e viceversa; cioè la superficie £ è il 
dei piani sostegni delle coniche del com- luogo dei poli delle curve o 7 del complesso 
plesso r appoggiate alla linea x. r' appoggiate alla linea x. 
*) Cremona, Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. Annali di Matematica, tomo 
VI, 1864, p. 156. 
