— 14 — 
Ogni piano che contenga due (o tre) Ogni punto comune a due (o a tre) 
generatrici della rigala è, è sostegno di generatrici della rigata è è polo di una 
una conica del complesso r che si ap- curva del complesso r' che si appoggia 
[loggia in due (o in tre) punti alla linea in due (o in tre) punti alla linea x, e 
x y e viceversa. viceversa. 
E cosi ogni piano che contenga due E così ogni punto dal quale escono 
generatrici inlìnitamenle prossime della £, due generatrici infinitamente prossime del- 
è sostegno di una conica del complesso la è, è polo di una curva del complesso 
r tangente alla linea x, e viceversa. P' tangente alla linea x, e viceversa. 
La rigala 4 riducesi ad un inviluppo La rigala 4 riducesi ad un cono 
piano soltanto se la x è una conica del soltanto nel caso che la x sia una curva 
complesso r o se fa parte di una siffatta del complesso r' o faccia parte di una 
conica, se cioè è un raggio della A. siffatta curva. 
11. Dai ragionamenti fatti si deduce innanzi tutto che: Ad una retta x che 
contenga v punti fondamentali, per v = 0,l,2, è coordinata nel complesso K una 
rigata £ di grado 3 — v, la quale riducesi ad un inviluppo piano di raggi soltanto 
nel caso che la retta x appartenga alla congruenza A, nel qual caso la i appartiene 
al piano della conica degenere del complesso r che comprende la x. 
Perciò al raggio u a della congruenza A che unisce i punti fondamentali U t . , U,, 
si coordina un fascio di raggi del complesso K situato nel piano della conica de- 
genere u a u a di r. 
Il centro U fl di questo fascio è polo di una curva del complesso r' che com- 
prende la retta u aì e però si spezza in tale retta ed in una curva gobba c s di 
6° ordine e di genere 3, che si appoggia alla u a in tre punti *). Questi sono doppi 
per la curva completa, e però il punto U fl è triplo per la superticie fondamentale. 
Nella rete di 3° ordine che ha per base le u il ,c 6> i monoidi che hanno il 
vertice in un punto D = u il c 6 , hanno ulteriormente in comune i due raggi della 
stella (D) che si appoggiano in altri due punti alla c 6 . Si hanno con ciò tre coppie 
di siffatti raggi. Essi costituiscono le coniche del complesso r associate alla (u a c a ) 
e però appartengono ai piani tangenti in U a alla superficie a. 
Nel complesso r' non esistono altre curve degeneri oltre le (u a c 6 ), perchè ogni 
altro caso di spezzamento è incompatibile con le ipotesi fatte sull'arbitrarietà del 
sistema 2 e dell' omografia generatrice del complesso r. 
E può affermarsi che: La superficie fondamentale presenta 105 punti tripli U, 7 as- 
sociali alle rette ITU, che uniscono a due a due i punti fondamentali, in modo che 
alla punteggiata (ITU,) è coordinato nel complesso K il fascio che la proietta dal 
corrispondente punto U fl • 
*) Vegg. l a m ' a Memoria: Su i vari tipi di congruenze lineari di coniche nello spazio (Rendiconti 
di questa Accademia. Serie 3 a , voi. 1", 1895, pag. 156). 
E noto che i punti \J a e le trisecanti u u di una curva gobba c 6 di 6° ordine e di genere 3 
si corrispondono biunivocamente in modo che ogni conica e, che contenga 5 punti della curva, 
incontra la trisecante u. ( coordinata all'ultimo punto di sezione della curva col piano co della c Jt 
sicché tenendo fisso questo punto U t . ( e facendo variare attorno ad esso il piano co, la conica c s 
descrive una congruenza bilineare, che oltre alla c 6 ha per direttrice la trisecante w fJ coordinata 
al punto U fl . 
Questa notevole corrispondenza fu indicata per la prima volta da Sturm (Synthetùohe Un- 
ter»uchunr/en ueber Fldclten dritter Ordnung. Leipzig, 1867, pag. 232). 
