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fuorché l'incontro nel punto 0 coordinato a tale retta, il che prova che ad un raggio 
qualunque x. della A sono omologhi nella 0 i raggi y coordinati ai singoli punti 0 
della x.. Questi raggi y formano un inviluppo piano /, = x? (n.° 7). 
Ad un raggio generico x di una stella fondamentale (U.) è coordinata una 
schiera rigata 4, e però al raggio x corrisponde nella 0 tutta la schiera rigala 
i' opposta alla è. 
Se la x è una generatrice arbitraria del cono ^ di vertice U ; della congruenza 
A, la è si riduce ad un inviluppo piano di 2 a classe, e la schiera opposta omo- 
loga della x nella 0, coincide con la è. 
lutine, se la retta co unisce due punti fondamentali U ; . , U, — nel qual caso il 
corrispondente inviluppo £ si spezza nei fasci (U ( ) , (JJ a ) del piano U^U^ — oltre 
ai raggi di questi due fasci la x ha per omologhe nella 0 tutte le rette della stella 
(UJ, giacché la superficie <p* 3 del complesso r dovuta ad una qualunque di tali 
rette passa per la x (n.° 11). 
La corrispondenza 0 non presenta altre rette eccezionali oltre quelle della con- 
gruenza A e delle stelle fondamentali. 
E dai ragionamenti fatti si conclude che: Il sistema delle rette x che incontrano 
le omologhe nella corrispondenza 0, è la congruenza A. Il sistema delle rette y che 
incontrano le omologhe nella 0 _1 , è il complesso K. Il sistema delle rette unite della 
corrispondenza è il complesso K. 
§ Vili. 
Relazioni di tangenza fra le curve dei complessi r , r e le rette dello spazio. 
13. Data ad arbitrio nello spazio una retta x che non appartenga al complesso 
R, la retta y omologa della x nella corrispondenza 0 è il luogo dei poli delle curve 
o 7 del complesso r' che hanno per corda la x (n.° 10). E propriamente se una curva 
o 7 incontra la x nei punti P, , P 2 , questi si trovano su di una medesima conica c t 
del complesso T; e la o, ha il polo nel punto di sezione del piano della c t con 
la y, nel qual punto concorrono le generatrici coordinate ai punti P, , P, della ri- 
gata 4 3 coordinata alla x. E viceversa. 
Dal fallo che le coppie P,P S costituiscono un' involuzione \ x non degenere, se- 
gue che: 
Una retta x dello spazio che non appartenga al complesso K, risulta tangente 
a due coniche distinte del complesso rea due curve distinte del complesso r'. I punti 
di contatto delle prime due linee coincidono con i punti di contatto delle ultime due. 
Essi sono i punti doppi E,F dell'involuzione \ x \ e propriamente se a questi 
punti si coordinano le generatrici e , f della £ 3 , le coniche del complesso r tan- 
genti alla x sono nei piani xe,xf che toccano la i 3 lungo le rette e,f rispetti va- 
mente; e le curvi; del complesso r' tangenti alla x hanno i [ioli nei punti ye ,yf 
che sono i punti doppi cuspidali della è 8 . 
Se la retta x è un raggio generico del complesso K coordinato al punto 0 , 
le curve del complesso r' che hanno per corda la x , sono tulle e sole quelle che 
hanno i poli sulla x. Una di esse sega la x nel proprio polo e nel punto 0, e 
