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tuati in un piano arbitrario del fascio (x), essendo aderente ad una curva che tocca 
la x nei punti 0, , 0, , ha il raggio doppio stazionario x. 
Le proposizioni inverse sono senz'altro evidenti, e si conclude che i raggi in 
esame formano la rigata dei raggi doppi stazionari del complesso K. 
14. Le coniche del complesso r e le curve del complesso V che passano per 
un punto generico 0 dello spazio, formano rispettivamente due fasci sulla superficie 
<p 3 = O'or, . . . r 5 dovuta al punto 0 (n.° 1), e però in questo punto risultano tangenti 
alle singole generatrici del cono t ì tangente in 0 alla <p 3 , che è del tutto determi- 
nalo dal raggio o coordinato al punto 0 e dai raggi r t , . . . r s della congruenza A 
uscenti dal punto 0. 
Più propriamente la conica del complesso r che è in un piano arbitrario v 
del fascio (o), è tangente nel punto 0 alla retta t sezione variabile del cono x, 
col piano v; come la curva del complesso r' che ha il polo in un punto arbitrario 
N della o, è tangente nel punto 0 alla generatrice variabile t del cono x, situata 
nel piano tangente lungo la o al cono del complesso K di vertice N. In questo 
piano v==ot due raggi del complesso K uscenti dal punto N, coincidono in o, 
sicché questa retta tocca nel punto N la curva inviluppata dai raggi del complesso 
K situati nel piano v. 
Con ciò si ha il modo di determinare la conica c t del complesso r e la curva c 7 
del complesso r' che nel punto 0 risultano tangenti ad una generatrice / del cono % t 
fissala ad arbitrio. 
Col variare della t sul cono x t , il piano v della c t ed il polo N della c 7 va- 
riano corrispondendosi nella proiellività caraneristica dovuta al raggio o del com- 
plesso K *). 
Se il punto 0 è doppio per una conica degenere i\r t del complesso r, il rag- 
gio o giace nel piano n=sr t r 9 \ ed il cono che in 0 è tangente alla superficie 
<P S = O i or i . . . r 5 , si spezza nel piano n==or t r t ed in un secondo piano « ==r,r 4 r 8 . 
Questo piano passa anche esso pel raggio o soltanto nel caso che vi sia una se- 
conda conica degenere r 8 r t del complesso r formata da rette seganlisi nel punto 0, 
nel qual caso il raggio o conta per due nel gruppo delle 6 rette della <p 3 uscenti da 0. 
Viceversa se la superficie y i ==0 2 or i . . . r 5 , dovuta ad un punto 0, ha in 0 un 
punto doppio biplanare, uno almeno dei due piani tangenti « ,«' conterrà il raggio 
o e segherà ulteriormente la <p 3 in una conica degenere del complesso r avente in 0 
un punto doppio. 
Se ciò accade soltanto pel piano n = or t r t , questo piano « ed il punto P, polo 
della curva o 7 = 0' associata alla conica r t r % (n.° 6), presenteranno rispetto al com- 
plesso K la particolarità che in un qualunque piano v del fascio (o), diverso da «, 
la curva inviluppala dai raggi del complesso K tocca la o nel punto P; mentre ogni 
punto N della o, diverso da P, è vertice di un cono del complesso K tangente 
lungo la o al piano « (n.° 7). 
Per la prima proprietà la curva del complesso V tangente nel punto 0 ad una 
*) È la proiettività intercedente tra i punti ed i piani che i raggi del complesso JK infinita- 
mente prossimi ed incidenti alla o determinano con questa retta. Vegg. Ira gli altri: Sturm, 
Liniengeometrie, II Th. n. 290. 
