- 19 - 
qualsiasi rella ( del fascio (0 — risulta essere la o 7 ==0 ! ; mentre per la se- 
conda proprietà la tangente nel punto 0 ad ogni altra curva del complesso r' uscente 
da 0, giace nel piano «. 
Inversamente ogni retta t del fascio (0 — n) risulta tangente nel punto 0 alla 
conica degenere r t r t del complesso r, che è nel piano ol — n, mentre le altre co- 
niche del complesso r uscenti da 0 risultano tangenti in questo punto ai singoli 
raggi del fascio (0 — tt). 
Invece nel caso che i piani « , «' passino entrambi pel raggio o, ciascuno di 
essi contenendo una conica degenere del complesso r formata da rette concorrenti 
nel punto 0, risulta tangente in questo punto alla quadrica che gli corrisponde nella 
omografia generatrice del complesso, e però anche il raggio o, sezione dei due 
piani, sarà tangente nel punto 0 alla curva omologa o 4 , sezione delle due qua- 
driche; sicché la o sarà un raggio doppio stazionario del complesso K e risulterà 
tangente nel punto 0 ad ogni curva generica dei complessi r , r' che passi pel punto 
0; mentre una reità qualsiasi del fascio (0 — (o del fascio (0 — w')) risulla tan- 
gente nel punto 0 alla conica degenere r,r a (o alla r 3 r t ) del complesso r ed alla 
curva del complesso V associata alla r 3 r 4 (o alla r/J. 
Inversamente ogni raggio doppio stazionario o del complesso K risulta tan- 
gente nel punto coordinato 0 alla curva o 4 che gli corrisponde nell'omografia ge- 
neratrice del complesso T; e nella proieltivilà che questa determina fra i fasci (o) , (o 4 ) 
vi saranno due piani del primo fascio tangenti alle quadriche omologhe del secondo, 
sicché il punto 0 sarà doppio per due coniche degeneri r t r t ,r 3 r 4 del complesso r 
e per due curve o 7 ,o' 7 del complesso r' situale sulla superfìcie <p 3 generata dai due 
fasci, la quale avrà due punti doppi 0,0' infinitamente vicini sulla o. 
La superficie luogo dei punti doppi delle linee dei complessi r,r' sarà della 
superficie nodale dei due complessi. Con ciò potrà affermarsi che: 
Alla rigata dei raggi doppi stazionari del complesso K è coordinata la curva 
doppia della superficie nodale dei complessi r , r'. Le coniche del complesso V (o le 
curve del complesso V) che passano per un punto semplice della superficie nodale, 
sono tangenti in questo punto ad un medesimo piano n (o nj ; mentre le linee dei 
due complessi che passano per un punto della curva doppia della superficie, sono 
tangenti in questo punto ad una medesima retta. 
Inoltre è evidente che : La superficie nodale è il luogo di un punto dal quale 
escono tre raggi complanari della congruenza A. 
Restano ora a determinarsi le relazioni intercedenti fra le curve dei complessi 
r , r che escono da un medesimo punto fondamentale U 4 , e le rette tangenti a 
queste curve nel punto U,. . 
Come per un raggio generico del complesso K, cosi per un raggio arbitrario o 
della stella (U.) esiste una sola conica del complesso r tangente alla o. Essa trovasi 
sulla superficie <p s = U/ dovuta alla o, ed è tangente a questa rella nel punto U< . 
Nel § seguente saranno prese in esame le curve del complesso r' tangenti alla 
retta o nel punto U f • Per ora i risultali ottenuti in questo § possono riassumersi 
nel seguente teorema: 
La corrispondenza che intercede fra le tangenti ed i punti di contatto delle sin- 
gole coniche del complesso r, coincide con la corrispondenza analoga dovuta al com- 
plesso r . In siffatta corrispondenza prospettiva 
